《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

9. 如图，在四边形$ABCD$中，点$E$在$AD$上，$\angle BAE = \angle BCE = 90^{\circ}$，且$BC = CE$，$AB = DE$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEC$。

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答案： 解：
因为$\angle BAE=\angle BCE = 90^{\circ}$，
所以$\angle B + \angle AEC=180^{\circ}$（四边形内角和为$360^{\circ}$），
又因为$\angle DEC+\angle AEC = 180^{\circ}$，
所以$\angle B=\angle DEC$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，
$\begin{cases}AB = DE\\\angle B=\angle DEC\\BC = EC\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，
可得$\triangle ABC\cong\triangle DEC$。

10. 在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了三角形的稳定性的是( )

答案： 10.C

11. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路$AB // CD$，道路$AB$与$AE$的夹角$\angle BAE = 50^{\circ}$。城市规划部门想新修一条道路$CE$，要求$CF = EF$，则$\angle E$的度数为( )

A.$23^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$27^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： 11.B

12. 已知等腰三角形的两边长分别为$5$和$6$，则这个等腰三角形的周长为(D)

A.$11$
B.$16$
C.$17$
D.$16$或$17$

答案： 12.D

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$\angle ABC = 120^{\circ}$，$BE \perp AC$于点$D$，且$AB // CE$，试判断$\triangle CEB$的形状，并说明理由。

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答案： 解：$\triangle CEB$是等边三角形。
理由如下：
- 步骤一：求$\angle A$和$\angle ACB$的度数
已知$AB = BC$，$\angle ABC = 120^{\circ}$，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，以及三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle ACB+\angle ABC = 180^{\circ}$，可得$\angle A=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle ABC}{2}=\frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$。
- 步骤二：求$\angle ECB$的度数
因为$BE\perp AC$，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，在$\triangle BCD$中，$\angle DBC = 180^{\circ}-\angle BDC-\angle ACB=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
又因为$AB// CE$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ECB=\angle ABC = 120^{\circ}$（此步骤错误，重新推导$\angle ECB$：因为$AB// CE$，所以$\angle ABD=\angle E$（两直线平行，同位角相等），$\angle A=\angle ECA$（两直线平行，内错角相等）。
由$AB = BC$，$BE\perp AC$，根据等腰三角形三线合一，$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC = 60^{\circ}$，则$\angle E = 60^{\circ}$，$\angle ECA=\angle A = 30^{\circ}$，那么$\angle ECB=\angle ECA+\angle ACB=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$）。
- 步骤三：判断$\triangle CEB$的形状
在$\triangle CEB$中，$\angle E = 60^{\circ}$，$\angle ECB = 60^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle EBC=180^{\circ}-\angle E-\angle ECB=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$\angle E=\angle ECB=\angle EBC = 60^{\circ}$，所以$\triangle CEB$是等边三角形（三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形）。
综上，$\triangle CEB$是等边三角形。

14. 如图，在$\triangle ABC$中，分别以点$A$和点$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧，两弧相交于点$M$，$N$，直线$MN$与$AC$，$BC$分别相交于$E$和$D$，连接$AD$。若$AE = 3\mathrm{cm}$，$\triangle ABC$的周长为$13\mathrm{cm}$，则$\triangle ABD$的周长是( )

A.$7\mathrm{cm}$
B.$10\mathrm{cm}$
C.$16\mathrm{cm}$
D.$19\mathrm{cm}$

答案： 14.A