《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

答案： 1.相等

2. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

答案： 2.角的平分线上

例1 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC。求证：EB=FC。

答案： 证明：
因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
所以 $DE = DF$，$\angle BED = \angle CFD = 90°$。
在 $Rt\triangle DBE$ 和 $Rt\triangle DCF$ 中，
$\begin{cases}DB = DC, \\DE = DF.\end{cases}$
所以 $Rt\triangle DBE \cong Rt\triangle DCF$（斜边、直角边）。
所以 $EB = FC$。

例2 如图，在△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在∠CAB的平分线上。

答案：

【思路分析】过点P作PF⊥AB于点F，作PH⊥AC于点H，再证PH=PF即可。
【规范解答】如答图，过点P分别作PF⊥AB于点F，作PG⊥BC于点G，作PH⊥AC于点H。

因为∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
所以PF=PG，PH=PG，
所以PF=PH。
又因为PF⊥AB，PH⊥AC，
所以点P在∠CAB的平分线上。

1. [2024青海]如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是(C)

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： 1.C

2. [2024常州]如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(A)

A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等

答案： 2.A

3. 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。若OD=8，OP=10，则PE的长为(B)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 3.B

4. [2024湖南]如图，在锐角△ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N。若MN=2，AD=4MD，则AM=6。

答案： 4.6

5. 如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E。求证：△OPD≌△OPE。

答案： 解：
因为$PD\perp OA$，$PE\perp OB$，所以$\angle ODP = \angle OEP = 90^{\circ}$。
在$\triangle OPD$和$\triangle OPE$中，
$\begin{cases}\angle AOC = \angle BOC\\\angle ODP = \angle OEP\\OP = OP\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle OPD\cong\triangle OPE$。

6. 如图是一个风筝骨架示意图。为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP。我们已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足PC=PD，才能得到OP为∠AOB的平分线。

答案： 6.PC=PD