《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

11. 化简$(\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 1})\cdot\frac{x^{2} - 1}{x}$。下面是甲、乙两名同学的部分运算过程：

(1)甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_______。(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法对加法的分配律；④乘法交换律。
(2)请选择其中一种解法，并写出完整的解答过程。

答案： 1. （1）
甲同学是将$\frac{x}{x + 1}$与$\frac{x}{x - 1}$通分，通分的依据是分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为$0$的整式，分式的值不变），所以甲同学解法的依据是②；
乙同学是将$(\frac{x}{x + 1}+\frac{x}{x - 1})\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$变形为$\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$，依据是乘法对加法的分配律$a(b + c)=ab+ac$，所以乙同学解法的依据是③。
2. （2）选择乙同学的解法：
解：
原式$=\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$。
则$\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$，$\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$。
$\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=x - 1$（分子分母的$x$和$x + 1$约掉）；$\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=x + 1$（分子分母的$x$和$x - 1$约掉）。
所以原式$=(x - 1)+(x + 1)$。
去括号得$x - 1+x + 1$。
合并同类项得$2x$。
选择甲同学的解法：
解：
原式$=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}]\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$。
先对中括号内的式子进行计算：$\frac{x(x - 1)+x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$。
展开分子：$x(x - 1)+x(x + 1)=x^{2}-x+x^{2}+x = 2x^{2}$。
此时式子为$\frac{2x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$（因为$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$）。
分子分母的$(x + 1)(x - 1)$约掉，$\frac{2x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=\frac{2x^{2}}{x}$。
再约掉分子分母的$x$，得到$2x$。
综上，（1）答案依次为②；③；（2）化简结果为$2x$。

12. 先化简，再求值：$\frac{m^{2} - 9}{m^{2} - 6m + 9}÷(1 - \frac{2}{m - 3})$，其中$m = 2$。

答案： $12.\frac{m + 3}{m - 5} $原式$=-\frac{5}{3}$

13. 先化简：$(\frac{4}{x - 2} + x + 2)÷\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4}$，再从 0，1，2，3 中选择一个适合的数作为$x$的值代入求值。

答案： 13.x 当x = 1时 原式=1；当x = 3时 原式=3

14. 分式方程$\frac{12}{x^{2} - 9} - \frac{2}{x - 3} = \frac{1}{x + 3}$的解为(C)

A.$x = 3$
B.$x = -3$
C.无解
D.$x = 3$或$-3$

答案： 14.C

15. 若关于$x$的方程$\frac{mx - 1}{x - 1} = 3$无解，则$m$的值为(B)

A.$1$
B.$1$或$3$
C.$1$或$2$
D.$2$或$3$

答案： 15.B

16. 解下列分式方程：
(1)$\frac{6}{x - 2} = \frac{x}{x + 3} - 1$；
(2)$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 1$；
(3)$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{8}{x^{2} - 4}$。

答案： $16.(1)x = -\frac{4}{3}$是原分式方程的解
(2)x = -2是原分式方程的解
(3)原分式方程无解