《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

7. [2025 长沙模拟]如图，点 $E$，$F$ 是线段 $AB$ 上的两个点，$CE$ 与 $DF$ 交于点 $M$。已知 $AF = BE$，$AC = BD$，$\angle A=\angle B$。
(1) 求证：$\triangle ACE\cong\triangle BDF$；
(2) 若 $\angle FME = 60^{\circ}$，求证：$\triangle MFE$ 是等边三角形。

答案： 1. （1）证明$\triangle ACE\cong\triangle BDF$：
已知$AF = BE$，根据等式的性质，在等式两边同时加上$FE$，可得$AF + FE=BE + FE$，即$AE = BF$。
在$\triangle ACE$和$\triangle BDF$中：
已知$\left\{\begin{array}{l}AC = BD\\\angle A=\angle B\\AE = BF\end{array}\right.$。
根据三角形全等判定定理中的“$SAS$”（边角边：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ACE\cong\triangle BDF(SAS)$。
2. （2）证明$\triangle MFE$是等边三角形：
因为$\triangle ACE\cong\triangle BDF$，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以$\angle AEC=\angle BFD$。
在$\triangle MFE$中，根据三角形内角和定理$\angle FME+\angle MEF+\angle MFE = 180^{\circ}$，又因为$\angle FME = 60^{\circ}$，且$\angle MEF=\angle AEC$，$\angle MFE=\angle BFD$（对顶角相等），$\angle AEC=\angle BFD$，所以$\angle MEF=\angle MFE$。
由$\angle FME = 60^{\circ}$，$\angle MEF=\angle MFE$，根据三角形内角和$\angle MEF+\angle MFE+\angle FME = 180^{\circ}$，可得$\angle MEF=\angle MFE=\frac{180^{\circ}-\angle FME}{2}=\frac{180 - 60}{2}=60^{\circ}$。
因为$\angle FME=\angle MEF=\angle MFE = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理（三个角都相等的三角形是等边三角形），所以$\triangle MFE$是等边三角形。
综上，（1）已证$\triangle ACE\cong\triangle BDF(SAS)$；（2）已证$\triangle MFE$是等边三角形。

8. 如图，$AD$ 是等边 $\triangle ABC$ 的一条中线。若在边 $AC$ 上取一点 $E$，使得 $AE = AD$，则 $\angle EDC$ 的度数为(D)

A.$30^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$15^{\circ}$

答案： 8.D

9. 如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形。
(1) 如图①，$DE// BC$，分别交 $AB$，$AC$ 于点 $D$，$E$，求证：$\triangle ADE$ 是等边三角形；
(2) 如图②，$\triangle ADE$ 是等边三角形，点 $B$ 在 $ED$ 的延长线上，连接 $CE$，求证：$BD = CE$。

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle B = \angle C=60^{\circ}$。
又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，则$\angle ADE=\angle B$，$\angle AED=\angle C$。
所以$\angle ADE=\angle AED = 60^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle A=\angle ADE=\angle AED = 60^{\circ}$，根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”，所以$\triangle ADE$是等边三角形。
2. （2）证明：
因为$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是等边三角形，所以$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 60^{\circ}$。
那么$\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中：
$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$
根据“$SAS$（边角边）”判定定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
再根据“全等三角形的对应边相等”，所以$BD = CE$。
综上，（1）得证$\triangle ADE$是等边三角形；（2）得证$BD = CE$。

10. 【模型观念，推理能力】已知等边 $\triangle ABC$ 和点 $P$，设点 $P$ 到 $\triangle ABC$ 的三边 $AB$，$AC$，$BC$ 的距离分别为 $h_1$，$h_2$，$h_3$，$\triangle ABC$ 的高 $AM$ 的长为 $h$。
(1) 如图①，当点 $P$ 在边 $BC$ 上，此时 $h_3 = 0$，可得结论：_______(用含 $h_1$，$h_2$，$h$ 的关系式表示)。
(2) 如图②，当点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部时，此时可得 $h$，$h_1$，$h_2$，$h_3$ 之间的数量关系为_______(用含 $h_1$，$h_2$，$h$ 的关系式表示)。

(3) 如图③，当点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 外部时，(2) 中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请写出 $h_1$，$h_2$，$h_3$ 和 $h$ 之间的数量关系，并说明理由。

答案： $(1)$
$h = h_1 + h_2$
$(2)$
$h = h_1 + h_2 + h_3$
$(3)$
解：当点$P$在$\triangle ABC$外部时，$(2)$中的结论不成立，数量关系为$h = h_1 + h_2 - h_3$。
理由如下：
连接$AP$，$BP$，$CP$。
因为${S}_{\triangle ABC}={S}_{\triangle ABP}+{S}_{\triangle ACP}-{S}_{\triangle BCP}$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），设等边$\triangle ABC$的边长为$a$。
则$\frac{1}{2}a\cdot h=\frac{1}{2}a\cdot h_1+\frac{1}{2}a\cdot h_2-\frac{1}{2}a\cdot h_3$。
等式两边同时除以$\frac{1}{2}a$，可得$h = h_1 + h_2 - h_3$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{h = h_1 + h_2}$；$(2)$$\boldsymbol{h = h_1 + h_2 + h_3}$；$(3)$不成立，$\boldsymbol{h = h_1 + h_2 - h_3}$。