《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

5. 在△ABC中，∠A = 80°，当∠B = 80°或50°或20°时，△ABC是等腰三角形。

答案： 5.80°或50°或20°

6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN//BC交AB于点M，交AC于点N。若BM + CN = 9，则线段MN的长为9。

答案： 6.9

7. [2025蚌埠模拟]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，BD = CE，∠ABE = ∠ACD，BE与CD相交于点F。求证：△ABC是等腰三角形。

答案： 解：
在$\triangle BDF$和$\triangle CEF$中，
\begin{cases}\angle BFD=\angle CFE&(对顶角相等)\\\angle FBD=\angle FCE&(已知\angle ABE = \angle ACD)\\BD = CE&(已知)\end{cases}
所以$\triangle BDF\cong\triangle CEF$（$AAS$）。
则$BF = CF$。
所以$\angle FBC=\angle FCB$（等边对等角）。
因为$\angle ABE = \angle ACD$，
所以$\angle ABE+\angle FBC=\angle ACD+\angle FCB$，
即$\angle ABC=\angle ACB$。
所以$AB = AC$（等角对等边）。
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。

8. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE//BC，交BD的延长线于点E。
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形。

答案： 1. （1）
解：
因为$AB = AC$，$\angle BAC=36^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，且$\angle ABC=\angle C$，所以$\angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$。
把$\angle BAC = 36^{\circ}$代入可得$\angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180 - 36)^{\circ}=72^{\circ}$。
又因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，则$\angle ABD=\frac{1}{2}×72^{\circ}=36^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和定理$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle ABD-\angle BAC$。
把$\angle ABD = 36^{\circ}$，$\angle BAC = 36^{\circ}$代入可得$\angle ADB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$。
2. （2）
证明：
因为$AE// BC$，所以$\angle E=\angle DBC$（两直线平行，内错角相等）。
由（1）知$\angle ABD=\angle DBC = 36^{\circ}$，所以$\angle E=\angle ABD = 36^{\circ}$。
又因为$\angle ADE=\angle BDC$（对顶角相等），$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle C$，$\angle C = 72^{\circ}$，$\angle DBC = 36^{\circ}$，所以$\angle BDC=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$，则$\angle ADE = 72^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle DAE=180^{\circ}-\angle E-\angle ADE$，把$\angle E = 36^{\circ}$，$\angle ADE = 72^{\circ}$代入得$\angle DAE=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$。
所以$\angle ADE=\angle DAE$，根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），可得$AE = DE$。
所以$\triangle ADE$是等腰三角形。
综上，（1）$\angle ADB$的度数为$108^{\circ}$；（2）证明如上，$\triangle ADE$是等腰三角形。

9.【推理能力】如图，在△ABC中，AB = AC，∠B = 30°，点O在BC边上运动（点O不与点B，C重合），连接AO。作∠AOD = ∠B，OD交AB于点D。
（1）当OD//AC时，判断△AOB的形状并证明。
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由。

答案： 9.
(1)△AOB是直角三角形,证明略
(2)△AOD的形状可以是等腰三角形,∠BDO的度数为60°或105°