《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

7. 通过举反例的方法说明命题“$5 ＞ 3$，则$5m ＞ 3m$”是错误的，$m$的值可以为-2(写出一个即可).

答案： 7.-2(答案不唯一)

8. 【教材P98例3变式】证明：如果实数$x \neq 0$或实数$y \neq 0$，那么$\vert x\vert+\vert y\vert\neq 0$.

答案： 解(证明)：
我们采用反证法。
假设$\vert x\vert+\vert y\vert = 0$。
根据绝对值的非负性，对于任意实数$a$，都有$\vert a\vert\geq0$，即$\vert x\vert\geq0$，$\vert y\vert\geq0$。
若$\vert x\vert+\vert y\vert = 0$，根据“若$a + b=0$（$a\geq0$，$b\geq0$），则$a = 0$且$b = 0$”（这里$a=\vert x\vert$，$b = \vert y\vert$），可得$\vert x\vert=0$且$\vert y\vert=0$。
再根据绝对值的定义，若$\vert x\vert = 0$，则$x = 0$；若$\vert y\vert=0$，则$y = 0$，这与已知条件“实数$x\neq0$或实数$y\neq0$”矛盾。
所以假设不成立，即如果实数$x\neq0$或实数$y\neq0$，那么$\vert x\vert+\vert y\vert\neq0$。

9. 用反证法证明“在$\triangle ABC$中，若$\angle A ＞ \angle B ＞ \angle C$，则$\angle A ＞ 60^{\circ}$”时，应先假设(D)

A.$\angle A = 60^{\circ}$
B.$\angle A ＜ 60^{\circ}$
C.$\angle A \neq 60^{\circ}$
D.$\angle A \leq 60^{\circ}$

答案： 9.D

10. 用反证法证明“在同一平面内，直线$a$，$b$，$c$互不重合，若$a // b$，$b // c$，则$a // c$”时，应假设a与c不平行.

答案： 10.a与c不平行

11. 用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角.

答案： 解：假设任意三角形的三个外角中至少有两个直角。
设$\triangle ABC$的三个外角分别为$\angle 1$，$\angle 2$，$\angle 3$。
因为三角形的一个内角与它相邻的外角的和为$180^{\circ}$，若有两个外角是直角，即$\angle 1 = 90^{\circ}$，$\angle 2 = 90^{\circ}$。
那么与$\angle 1$相邻的内角$\angle A=180^{\circ}-\angle 1 = 90^{\circ}$，与$\angle 2$相邻的内角$\angle B = 180^{\circ}-\angle 2=90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle C=90^{\circ}+90^{\circ}+\angle C\gt180^{\circ}$，这与三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$矛盾。
所以假设不成立，即任意三角形的三个外角中至多有一个直角。

12. 已知命题“若$a ＞ b$，则$\vert a\vert ＞ \vert b\vert$”.
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举出一个反例说明.
(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假. 若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举出一个反例说明.

答案： 12.
(1)假命题 反例:a=2,b=-3,有a＞b,但|a|＜|b|
(2)假命题 反例:a=-2,b=-1,有|a|＞|b|,但a＜b

13. 【推理能力】已知命题“如图，已知$\angle A = \angle C$，若$AB // CD$，则$BC // AD$”.
(1)写出其逆命题.
(2)判断(1)中命题是真命题还是假命题？若是真命题，请写出证明过程；若是假命题，请举出反例.

答案： 1. （1）
原命题为“若$p$，则$q$”，其逆命题为“若$q$，则$p$”。
已知原命题“已知$\angle A=\angle C$，若$AB// CD$，则$BC// AD$”，其中$p$：$AB// CD$，$q$：$BC// AD$。
所以逆命题为：“已知$\angle A = \angle C$，若$BC// AD$，则$AB// CD$”。
2. （2）
解：该命题是真命题。
证明：
因为$BC// AD$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$\angle ADB=\angle DBC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle C\\\angle ADB = \angle DBC\\BD = DB\end{array}\right.$。
根据“$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）”，可得$\triangle ABD\cong\triangle CDB$。
所以$\angle ABD=\angle CDB$。
再根据“内错角相等，两直线平行”，由$\angle ABD=\angle CDB$，可得$AB// CD$。
综上，（1）逆命题为“已知$\angle A = \angle C$，若$BC// AD$，则$AB// CD$”；（2）是真命题，证明过程如上述。