《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

22. 阅读：用“十字相乘法”分解因式$2x^{2}-x - 3$的方法.
(1)二次项系数$2 = 1×2$.
(2)常数项$-3=-1×3 = 1×(-3)$，
验算：“交叉相乘之和”.
 
①$1×3 + 2×(-1)=1$；
②$1×(-1)+2×3 = 5$；
③$1×(-3)+2×1=-1$；
④$1×1 + 2×(-3)=-5$.
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果$1×(-3)+2×1=-1$，等于一次项系数.
即$(x + 1)(2x - 3)=2x^{2}-3x + 2x - 3 = 2x^{2}-x - 3$，则$2x^{2}-x - 3=(x + 1)(2x - 3)$.
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫作十字相乘法.
仿照以上方法，分解因式：
(1)$x^{2}+8x + 15$；
(2)$3x^{2}-5x - 12$；
(3)$3(x + 2)^{2}-5(x + 2)-12$.

答案： 22.
(1)(x+3)(x+5)
(2)(3x+4)(x-3)
(3)3x+10)(x-1)

23. 【创新意识】如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”. 例如：$8 = 3^{2}-1^{2}$，$16 = 5^{2}-3^{2}$，$24 = 7^{2}-5^{2}$，因此$8$，$16$，$24$都是“正巧数”.
(1)写出一个$30$到$50$之间的“正巧数”；
(2)设两个连续正奇数为$2k - 1$和$2k + 1$（其中$k$是正整数），由它们构成的“正巧数”能被$8$整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明.
(3)已知$m$，$n$均为正整数，且$m＞n$，若$(m - 7)(m + 7)+n^{2}-2mn$是“正巧数”.
①求$m - n$的值；
②若$m + n + 1$是“正巧数”，请说明$10m - 8n$是“正巧数”.

答案： 1. （1）
因为$(2k + 1)^{2}-(2k - 1)^{2}=(2k + 1+2k - 1)(2k + 1-(2k - 1))=8k$（$k$是正整数）。
当$k = 4$时，$8k=32$（$30\lt32\lt50$）；当$k = 5$时，$8k = 40$（$30\lt40\lt50$）；当$k = 6$时，$8k=48$（$30\lt48\lt50$）。
所以$30$到$50$之间的“正巧数”可以是$32$（或$40$或$48$）。
2. （2）
解：能被$8$整除。
理由：$(2k + 1)^{2}-(2k - 1)^{2}$
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2k+1$，$b = 2k - 1$，则$(2k + 1)^{2}-(2k - 1)^{2}=(2k + 1+2k - 1)(2k + 1-(2k - 1))$。
化简$(2k + 1+2k - 1)(2k + 1-(2k - 1))=(4k)×2=8k$。
因为$k$是正整数，所以$8k$能被$8$整除，即由$2k - 1$和$2k + 1$构成的“正巧数”能被$8$整除。
3. （3）
①
先化简$(m - 7)(m + 7)+n^{2}-2mn$：
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，$(m - 7)(m + 7)+n^{2}-2mn=m^{2}-49 + n^{2}-2mn=(m - n)^{2}-49$。
设$(m - n)^{2}-49=8k$（$k$是正整数），即$(m - n)^{2}=8k + 49$。
因为$m$，$n$均为正整数，且$m\gt n$，令$m - n=t$（$t$是正整数），则$t^{2}=8k + 49$。
当$k = 0$时，$t^{2}=49$，解得$t = 7$（$t=-7$舍去，因为$t\gt0$），所以$m - n = 7$。
②
因为$m - n = 7$，所以$m=n + 7$。
因为$m + n+1$是“正巧数”，设$m + n+1=8a$（$a$是正整数），把$m=n + 7$代入得$n + 7+n+1=8a$，即$2n+8 = 8a$，$n + 4 = 4a$，$n=4a - 4$。
则$m=4a - 4 + 7=4a+3$。
计算$10m-8n$：
$10m-8n=10(4a + 3)-8(4a - 4)$。
展开式子得$10(4a + 3)-8(4a - 4)=40a+30-(32a - 32)$。
去括号$40a+30 - 32a + 32=(40a-32a)+(30 + 32)=8a+62$。
又$10m-8n=2(5m - 4n)$，$5m-4n=5(n + 7)-4n=n + 35$。
因为$m + n+1=(n + 7)+n+1=2n + 8$是“正巧数”，$10m-8n=10(n + 7)-8n=2n+70=(2n + 8)+62$。
设$m + n+1=(2b + 1)^{2}-(2b - 1)^{2}=8b$（$b$是正整数），$10m-8n=10(n + 7)-8n=2n+70$。
因为$m - n = 7$，$10m-8n=10(m - n)+2n=70+2n$。
又$10m-8n=(m + n+1)+(9m - 9n - 1)$，$9m-9n-1=9(m - n)-1=9×7-1 = 62$。
另一种方法：
因为$m - n = 7$，$10m-8n=2(5m - 4n)$，$5m-4n=5(n + 7)-4n=n + 35$。
设$m + n+1=(2c + 1)^{2}-(2c - 1)^{2}=8c$（$c$是正整数），$n=4c - 4$，$m=4c+3$。
$10m-8n=10(4c + 3)-8(4c - 4)=40c+30-32c + 32=8c+62=(2c + 17)^{2}-(2c + 15)^{2}$。
验证$(2c + 17)^{2}-(2c + 15)^{2}=(2c + 17+2c + 15)(2c + 17-(2c + 15))=(4c + 32)×2=8c+64 - 2=8c+62$。
综上，（1）$32$（或$40$或$48$）；（2）能，理由见上述过程；（3）①$m - n = 7$；②说明见上述过程。