《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

$1. \sqrt{a \cdot b} =$　　$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$　　$(a \geq 0, b \geq 0).$　　

答案： $1.\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

2. 被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数(或因式). 这样的二次根式叫作最简二次根式. 在二次根式的运算中,要把结果化成最简二次根式.

答案： 2.分母 开得尽方

例1 化简下列二次根式:
(1)$\sqrt{8}$；(2)$\sqrt{54}$；(3)$\sqrt{75}$.
 

答案：
(1)$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = \sqrt{4} × \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
(2)$\sqrt{54} = \sqrt{9 × 6} = \sqrt{9} × \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$。
(3)$\sqrt{75} = \sqrt{25 × 3} = \sqrt{25} × \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$。

例2 化简下列二次根式:
(1)$\sqrt{\frac{9}{5}}$；
(2)$\sqrt{\frac{b^{3}}{8a^{2}}}(a ＞ 0, b \geq 0)$. 

答案：
(1)
$\sqrt{\frac{9}{5}} = \sqrt{\frac{9 × 5}{5 × 5}} = \sqrt{\frac{3^{2} × 5}{5^{2}}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}$
(2)
因为$a\gt0$，$b\geq0$，
$\sqrt{\frac{b^{3}}{8a^{2}}}=\sqrt{\frac{b^{2}\cdot b}{4 × 2a^{2}}}=\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}\cdot\frac{b}{2}}=\frac{b}{2a}\sqrt{\frac{b}{2}}=\frac{b}{2a}\sqrt{\frac{2b}{4}}=\frac{b}{4a}\sqrt{2b}$

1. 化简二次根式除了利用二次根式的性质外,还可以借助图形解释验证. 例如:化简$\sqrt{8}$时,我们可以构造如图所示的图形,其中图①是一个面积为8的正方形,图②是一个面积为2的正方形,根据两图的关系我们可以得到:$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. 这种分析问题的方法所体现的数学思想是 (B)


A.分类讨论
B.数形结合
C.公理化
D.类比

答案： 1.B

2. 化简$\sqrt{27}$的结果正确的是 (B)

A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.4
D.$2\sqrt{3}$

答案： 2.B

3. 计算二次根式$\sqrt{(-3)^{2} × 5}$的结果是 (A)

A.$3\sqrt{5}$
B.$-3\sqrt{5}$
C.5
D.15

答案： 3.A

4. 化简$\sqrt{\frac{5}{8}}$的结果是 (B)

A.$\frac{\sqrt{5}}{8}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$

答案： 4.B

5. 化简下列二次根式:
(1)$\sqrt{40}$；
(2)$\sqrt{\frac{9}{8}}$；
(3)$\sqrt{98}$.

答案： $5.(1)2\sqrt{10} (2)\frac {3}{4}\sqrt{2} (3)7\sqrt{2}$

6. [2025 邵阳模拟]下列根式是最简二次根式的是 (A)

A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{0.1}$
C.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
D.$\sqrt{20}$

答案： 6.A