《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 如果直角三角形的两条直角边分别为$a,b$，斜边为$c$，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这一结论称为勾股定理。

答案： 1. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

2. 我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦。

答案： 2. 勾 股 弦

例1 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，且$\angle A,\angle B,\angle C$的对应边分别为$a,b,c$。
(1)已知$c = 25,a = 20$，求$b$的长；
(2)已知$a = 6\sqrt{2},b = 2\sqrt{6}$，求$c$的长；
(3)已知$a:b = 1:2$，且$c = 10$，求$a,b$的长。

答案： 答题卡：
(1) 在$Rt \triangle ABC$中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$c = 25$，$a = 20$，根据勾股定理，得：
$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{25^{2} - 20^{2}} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$。
(2) 在$Rt\triangle ABC$中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$a = 6\sqrt{2}$，$b = 2\sqrt{6}$，根据勾股定理，得：
$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{(6\sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{6})^{2}} = \sqrt{72 + 24} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$。
(3) 在$Rt\triangle ABC$中，设$a = x$，$b = 2x$，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$c = 10$，根据勾股定理，得：
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，
即：
$x^{2} + (2x)^{2} = 10^{2}$，
$x^{2} + 4x^{2} = 100$，
$5x^{2} = 100$，
$x^{2} = 20$，
解得：
$x = 2\sqrt{5}$（负值已舍去），
所以$a = 2\sqrt{5}$，$b = 2x = 4\sqrt{5}$。

例2 如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形$A,B,C,D$的边长分别是$3,4,2,3$，则最大的正方形$E$的面积是$\underline{38}$。

【思路分析】在直角三角形中，以两直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积。

答案： 38

1. 【数学文化·教材P164内容编写】我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中( )

答案： 1. A

2. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。小立发现勾是$9$，股是$40$，则弦长为(C)

A.$7$
B.$31$
C.$41$
D.$49$

答案： 2. C

3. 如图，在数轴上找出表示$3$的点$A$，则$OA = 3$，过点$A$作直线$l$垂直$OA$，在$l$上取点$B$，使$AB = 2$，以原点$O$为圆心，以$OB$的长为半径作弧，弧与数轴的交点$C$。其中点$C$表示的实数是(D)

A.$\sqrt{7}$
B.$4$
C.$\sqrt{11}$
D.$\sqrt{13}$

答案： 3. D

4. 如图，在$Rt\triangle ABC(\angle ACB = 90^{\circ})$的三边上，向外作三个正方形，其中两个正方形的面积为$S_{3} = 169,S_{2} = 144$，则$S_{1} =$(C)

A.$50$
B.$30$
C.$25$
D.$100$

答案： 4. C