《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

教材母题 （教材 P167“思考”）
如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图。假设梯子长 4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为 1.5 m。他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近 0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5 m？（已知$\sqrt{13.75}\approx3.71$，$\sqrt{15}\approx3.87$）

【思想方法】此类梯子移动问题，抓住梯子的长度不变，分别在两个直角三角形中利用勾股定理求线段的长，再进行计算比较。

答案： 【教材母题】 梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m，而不是向上移动0.5 m

变形 综合实践
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场。如图，已知一架长 25 m 云梯$AB$斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离$OB = 20$ m，$\angle AOB = 90^{\circ}$。

【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的高度$OA$。
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部$A$下滑到$A'$位置上（云梯长度不改变），则底部$B$沿水平方向向右滑动到$B'$位置上，若$AA' = 8$ m，求$BB'$的长度。
【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面 24 m 的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员。经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙脚的距离不小于云梯长度的$\frac{1}{5}$，则云梯和消防员相对安全。在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达 24 m 高的窗口去救援被困人员？

答案： 【变形】
(1)这架云梯顶部距离地面的高度OA为15 m
(2)BB′的长度为4 m
(3)在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24 m高的窗口去救援被困人员