《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)。

答案： 相等 等角对等边

例1 如图，∠BAC = 100°，∠B = 40°，∠D = 20°，AB = 3，求CD的长。

答案： 答题卡：
解：
$\because \angle BAC = 100°$，$\angle B = 40°$，
$\therefore \angle ACB = 180° - \angle BAC - \angle B = 40°$，
$\therefore \angle ACB = \angle B$，
$\therefore AC = AB = 3$，
$\because \angle D = 20°$，
$\therefore \angle CAD = \angle ACB - \angle D = 20°$，
$\therefore \angle CAD = \angle D$，
$\therefore CD = AC = 3$。
最终结论：
$CD$的长为$3$。

例2 如图，在Rt△ABC中，∠CBA = 90°，D是AB的延长线上一点，点E在BC上，连接DE并延长交AC于点F，且EF = FC。求证：AF = DF。

答案：
∵EF=FC，
∴∠FEC=∠C（等边对等角）。
∵∠CBA=90°，
∴∠A+∠C=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠CBA=90°，
∴∠DBE=180°-∠CBA=90°（平角的定义），
∴∠D+∠BED=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠BED=∠FEC（对顶角相等），∠FEC=∠C，
∴∠BED=∠C（等量代换），
∴∠A=∠D（等角的余角相等），
∴AF=DF（等角对等边）。

1.【教材P136第6题变式】如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20n mile/h的速度向北航行，10时到达海岛B处，分别从A，B两海岛望灯塔C，测得∠NAC = 35°，∠NBC = 70°，则从海岛B到灯塔C的距离为(D)

A.25n mile
B.30n mile
C.35n mile
D.40n mile

答案： 1.D

2.【开放题】在△ABC中，∠B ＞ 90°，要使△ABC为等腰三角形，可添加的条件是∠A=∠C(或BA=BC)。

答案： 2.∠A=∠C(或BA=BC)

3. [2024常州]如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB = DF，AC = DE，BC = EF。求证：△GEC是等腰三角形。

答案： 解：
在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中，
$\begin{cases}AB = DF \\AC = DE \\BC = EF\end{cases}$
根据$SSS$（边边边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DFE$。
所以$\angle ACB=\angle DEF$。
因为$\angle ACB=\angle DEF$，所以$GE = GC$（等角对等边）。
所以$\triangle GEC$是等腰三角形。

4. 如图，在△AEF中，AE = AF，点P在EF的延长线上，过点P作EP的垂线，交AF的延长线于点B，交EA的延长线于点C。求证：△ABC是等腰三角形。

答案： 解：
因为$AE = AF$，根据等腰三角形的性质，可得$\angle E=\angle AFE$。
又因为$\angle AFE=\angle BFP$（对顶角相等），所以$\angle E=\angle BFP$。
因为$CP\perp EP$，所以$\angle BPF = \angle CPE=90^{\circ}$。
在$\triangle BFP$中，$\angle B = 90^{\circ}-\angle BFP$；在$\triangle CEP$中，$\angle C=90^{\circ}-\angle E$。
由于$\angle E=\angle BFP$，所以$\angle B=\angle C$。
根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），在$\triangle ABC$中，因为$\angle B=\angle C$，所以$AB = AC$。
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。