《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 如图①，AD，BC 相交于点 O，得到的数学基本图形我们称之为“8”字形 ABCD.
(1)试说明：∠A + ∠B = ∠C + ∠D；
(2)如图②，∠ABC 和∠ADC 的平分线相交于点 E，尝试用(1)中的数学基本图形和结论，猜想∠E 与∠A，∠C 之间的数量关系，并说明理由.

答案： 1.
(1)
解：在$\triangle AOB$中，$\angle AOB = 180^{\circ}-\angle A - \angle B$；在$\triangle COD$中，$\angle COD=180^{\circ}-\angle C - \angle D$。
因为$\angle AOB$与$\angle COD$是对顶角，所以$\angle AOB=\angle COD$。
即$180^{\circ}-\angle A - \angle B = 180^{\circ}-\angle C - \angle D$，所以$\angle A+\angle B=\angle C + \angle D$。
2.
(2)
解：猜想$2\angle E=\angle A+\angle C$。
理由如下：
由（1）的结论可知：
在“$8$”字形$ABED$中，$\angle A+\angle ABE=\angle E+\angle ADE$ $①$；
在“$8$”字形$EBCD$中，$\angle C+\angle CDE=\angle E+\angle CBE$ $②$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，$DE$平分$\angle ADC$，所以$\angle ABE=\angle CBE$，$\angle ADE=\angle CDE$。
$① + ②$得：$\angle A+\angle ABE+\angle C+\angle CDE=\angle E+\angle ADE+\angle E+\angle CBE$。
将$\angle ABE=\angle CBE$，$\angle ADE=\angle CDE$代入上式可得：$\angle A+\angle C = 2\angle E$。
综上，（1）已证$\angle A+\angle B=\angle C + \angle D$；（2）$\boldsymbol{2\angle E=\angle A+\angle C}$。

2. (1)观察如图①所示的“燕尾图”，试探究∠BDC 与∠A，∠B，∠C 之间的数量关系，并说明理由.
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺 XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边 XY，XZ 恰好经过点 B，C. 若∠A = 50°，则∠ABX + ∠ACX = _______；
②如图③，DC 平分∠ADB，EC 平分∠AEB. 若∠A = 50°，∠DBE = 130°，求∠DCE 的度数；
③如图④，∠ABD，∠ACD 的十等分线相交于点 G₁，G₂，…，G₉. 若∠BDC = 140°，∠BG₁C = 77°，则∠A = _______.

答案： 1. （1）探究$\angle BDC$与$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$之间的数量关系：
解：$\angle BDC=\angle A + \angle B+\angle C$。
理由：连接$AD$并延长到点$E$。
根据三角形外角性质：$\angle BDE=\angle BAD+\angle B$，$\angle CDE=\angle CAD+\angle C$。
又因为$\angle BDC=\angle BDE+\angle CDE$，$\angle BAC=\angle BAD + \angle CAD$。
所以$\angle BDC=(\angle BAD+\angle B)+(\angle CAD+\angle C)=\angle BAC+\angle B+\angle C$。
2. （2）①求$\angle ABX+\angle ACX$的值：
已知$\angle A = 50^{\circ}$，$\angle BXC = 90^{\circ}$（三角尺直角）。
由$\angle BXC=\angle A+\angle ABX+\angle ACX$（$\angle BDC=\angle A+\angle B+\angle C$的结论）。
则$\angle ABX+\angle ACX=\angle BXC-\angle A=90 - 50=40^{\circ}$。
3. （2）②求$\angle DCE$的度数：
已知$\angle A = 50^{\circ}$，$\angle DBE = 130^{\circ}$。
由$\angle DBE=\angle A+\angle ADB+\angle AEB$（$\angle BDC=\angle A+\angle B+\angle C$的结论），可得$\angle ADB+\angle AEB=\angle DBE-\angle A=130 - 50 = 80^{\circ}$。
因为$DC$平分$\angle ADB$，$EC$平分$\angle AEB$，所以$\angle ADC=\frac{1}{2}\angle ADB$，$\angle AEC=\frac{1}{2}\angle AEB$。
则$\angle ADC+\angle AEC=\frac{1}{2}(\angle ADB+\angle AEB)=\frac{1}{2}×80^{\circ}=40^{\circ}$。
又因为$\angle DCE=\angle A+\angle ADC+\angle AEC$（$\angle BDC=\angle A+\angle B+\angle C$的结论）。
所以$\angle DCE=50 + 40=90^{\circ}$。
综上，（1）$\angle BDC=\angle A+\angle B+\angle C$；（2）①$40^{\circ}$；②$\angle DCE = 90^{\circ}$；③$70^{\circ}$。