《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

5. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠1=∠2，DB=DC。
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A=135°，∠BDC=30°，求∠2的度数。

答案： 1. （1）证明：
因为$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ABD=\angle EDC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle EDC$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle 1 = \angle 2\\DB = DC\\\angle ABD=\angle EDC\end{array}\right.$。
根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）判定定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle EDC$。
2. （2）解：
因为$\triangle ABD\cong\triangle EDC$，所以$\angle A=\angle DEC = 135^{\circ}$。
因为$\angle DEC$是$\triangle BDE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$\angle DEC=\angle BDC+\angle DBE$。
已知$\angle BDC = 30^{\circ}$，则$\angle DBE=\angle DEC-\angle BDC$。
把$\angle DEC = 135^{\circ}$，$\angle BDC = 30^{\circ}$代入可得：$\angle DBE=135^{\circ}-30^{\circ}=105^{\circ}$。
又因为$DB = DC$，所以$\angle DBC=\angle 2$。
且$\angle 1=\angle 2$，在$\triangle DBC$中，根据三角形内角和定理$\angle DBC+\angle 2+\angle BDC = 180^{\circ}$，即$2\angle 2+\angle BDC = 180^{\circ}$。
把$\angle BDC = 30^{\circ}$代入$2\angle 2+\angle BDC = 180^{\circ}$，得$2\angle 2+30^{\circ}=180^{\circ}$。
移项可得$2\angle 2=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$，则$\angle 2 = 15^{\circ}$。
综上，（1）已证$\triangle ABD\cong\triangle EDC$；（2）$\angle 2$的度数为$15^{\circ}$。

6. 如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF。
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB=8，AC=2，求CD的长。

答案： 1. （1）证明：
在$\triangle ACE$和$\triangle BDF$中，
已知$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B\\\angle ACE = \angle BDF\\AE = BF\end{array}\right.$。
根据三角形全等判定定理$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ACE\cong\triangle BDF$。
2. （2）
因为$\triangle ACE\cong\triangle BDF$，所以$AC = BD$。
已知$AC = 2$，则$BD=2$。
又因为$AB = 8$，且$AB=AC + CD+BD$。
把$AC = 2$，$BD = 2$代入$AB=AC + CD+BD$中，得到$8=2 + CD+2$。
移项可得$CD=8-(2 + 2)$。
计算得$CD = 4$。
综上，（1）已证$\triangle ACE\cong\triangle BDF$；（2）$CD$的长为$4$。

7. 【推理能力】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N。
(1)若MN在△ABC外(如图①)，求证：MN=AM+BN；
(2)若直线MN与线段AB相交(如图②)，且AM=2.6，BN=1.1，则MN=_______。

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACM+\angle BCN = 90^{\circ}$。
又因为$AM\perp MN$，$BN\perp MN$，所以$\angle AMC=\angle CNB = 90^{\circ}$，则$\angle MAC+\angle ACM = 90^{\circ}$，所以$\angle MAC=\angle BCN$。
在$\triangle ACM$和$\triangle CBN$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AMC=\angle CNB\\\angle MAC=\angle BCN\\AC = BC\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ACM\cong\triangle CBN$。
所以$AM = CN$，$CM = BN$。
因为$MN=CM + CN$，所以$MN=AM + BN$。
2. （2）
证明：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACM+\angle BCN = 90^{\circ}$。
又因为$AM\perp MN$，$BN\perp MN$，所以$\angle AMC=\angle CNB = 90^{\circ}$，则$\angle MAC+\angle ACM = 90^{\circ}$，所以$\angle MAC=\angle BCN$。
在$\triangle ACM$和$\triangle CBN$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AMC=\angle CNB\\\angle MAC=\angle BCN\\AC = BC\end{array}\right.$
根据$AAS$，可得$\triangle ACM\cong\triangle CBN$。
所以$AM = CN$，$CM = BN$。
此时$MN=CN - CM$（$CN\gt CM$），因为$AM = CN$，$CM = BN$，所以$MN=AM - BN$。
已知$AM = 2.6$，$BN = 1.1$，则$MN=2.6−1.1 = 1.5$。
故答案为：（1）证明见上述过程；（2）$1.5$。