《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

13. (2025·编写)已知多项式$(m-3)x^{|m|-2}y^{3}+x^{2}y-2xy^{2}是关于x$,$y$的四次三项式,求$m$的值.

答案： 【解】因为多项式$(m-3)x^{|m|-2}y^{3}+x^{2}y-2xy^{2}$是关于$x$,$y$的四次三项式,所以$m-3\neq0$,$|m|-2+3=4$,所以$m=-3$.

14. (2025·编写)已知$(m-1)x^{3}-(n+2)x^{2}+(2m-5n)x-6是关于x$的多项式.
(1)当$m$,$n$满足什么条件时,该多项式是关于$x$的二次多项式？
(2)当$m$,$n$满足什么条件时,该多项式是关于$x$的三次二项式？

答案： 【解】
(1)由题意,得当$m-1=0$,且$n+2\neq0$,即$m=1$,$n\neq-2$时,该多项式是关于$x$的二次多项式.
(2)由题意得,当$m-1\neq0$,$n+2=0$,且$2m-5n=0$,即$m=-5$,$n=-2$时,该多项式是关于$x$的三次二项式.

15. (1)(2025·编写)已知$x^{2}y^{|a|}+(b+2)是关于x$,$y$的五次单项式,求$a^{2}-3ab$的值.
(2)(2025·编写)已知多项式$-3x^{2}y^{m-1}+x^{3}y-3x^{4}-1$是五次四项式,且单项式$2x^{2n}y$的次数与该多项式的次数相同.
①求$m$,$n$的值；
②把这个多项式按$x$的降幂排列.

答案：
(1)【解】因为$x^{2}y^{|a|}+(b+2)$是关于$x$,$y$的五次单项式,所以$\begin{cases}2+|a|=5,\\b+2=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\pm3,\\b=-2.\end{cases}$当$a=-3$,$b=-2$时,$a^{2}-3ab=9-18=-9$;当$a=3$,$b=-2$时,$a^{2}-3ab=9+18=27$.
(2)【解】①因为多项式$-3x^{2}y^{m-1}+x^{3}y-3x^{4}-1$是五次四项式,所以$2+m-1=5$,解得$m=4$.因为单项式$2x^{2n}y$的次数与该多项式的次数相同,所以$2n+1=5$,解得$n=2$.②按$x$的降幂排列为$-3x^{4}+x^{3}y-3x^{2}y^{3}-1$.