《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)已知∠AOB= $100^{\circ}$,射线OC在同一平面内绕点O旋转,射线OE,OF分别是∠AOC和∠COB的平分线,则∠EOF的度数为______.

答案： 50°或130°

13. (2024·青羊)某人下午6点多钟外出购物,表上时针和分针的夹角恰好是$110^{\circ}$,将近7点钟回到家,此时,表上时针和分针的夹角又恰好是$110^{\circ}$,则此人外出购物所用时间是______分钟.

答案： 40

14. (2024·武侯)在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使∠COD= $90^{\circ}$,当∠AOC= $50^{\circ}$时,求∠BOD的度数.

答案： [解]如图，当射线OC,OD在直线AB的同一侧时，
∵∠COD=90°,
∴∠BOD=180°−90°−∠AOC=180°−90°−50°=40°.当射线OC,OD在直线AB的两侧时，
∵∠COD=90°,
∴∠AOD=90°−∠AOC=90°−50°=40°,
∴∠BOD=180°−∠AOD=180°−40°=140°.综上所述，∠BOD的度数是40°或140°.

15. (2025·天府新区)如图,两个形状、大小完全相同的含有$30^{\circ}$,$60^{\circ}$角的三角板如图1所示放置,PA,PB与直线MN重合,且三角板PAC,三角板PBD均可绕点P逆时针旋转.
(1)试说明图1中∠DPC= $90^{\circ}$.
(2)如图2,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P按逆时针方向旋转一定度数,PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF的度数.
(3)如图3,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P按逆时针方向旋转,转速为$5^{\circ}/s$,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P按逆时针方向旋转,转速为$3^{\circ}/s$,在两个三角形旋转过程中(PC转到与PM重合时,两个三角板都停止转动),问是否存在某个时刻,使∠BPN：∠CPD= 9：4,若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由.

答案： [解]
(1)由题意,得∠CPA=60°,∠DPB=30°,则∠DPC=∠BPA−∠CPA−∠DPB=180°−60°−30°=90°.
(2)
∵PE平分∠CPD,
∴可设∠CPE=∠DPE=x,∠CPF=y.则∠APF=60°−y,∠DPF=2x+y
∵PE平分∠APD,
∴y+2x=60°−y,
∴x+y=30°,
∴∠EPF=∠CPE+∠CPF=x+y=30°,即∠EPF的度数为30°.
(3)在旋转过程中，存在某个时刻，使∠BPN:∠CPD=9:4.设运动时间为t秒,
∴∠CPD=90°−5t°+3t°=90°−2t°,∠BPN=180°−∠BPM=180°−3t°,
∴$\frac{180°−3t°}{90°−2t°}$=$\frac{9}{4}$,解得t=15,故存在某个时刻,使∠BPN:∠CPD=9:4,此时，t=15.