《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

11. (2025·编写)找出下列各图形中数的规律,依此规律,$a$的值为____.

答案： 【解析】：本题可通过观察图形中数的规律来求解$a$的值。
观察前三个图形可知：
第一个图形中，$0 + 2 = 2×1$；
第二个图形中，$2 + 10 = 4×3$；
第三个图形中，$4 + 26 = 6×5$。
由此可归纳出规律：每个图形中下面两个数的和等于上面数与中间数之积。
对于第四个图形，上面数是$15$，中间数是$16$，下面左边的数是$14$，设右边$a$的值，则可根据上述规律列出$14 + a = 15×16$。
求解上述方程：
$\begin{aligned}14 + a &= 15×16\\14 + a &= 240\\a &= 240 - 14\\a &= 226\end{aligned}$
【答案】：$226$

12. (2024·珠海)如图,已知第$1个长方形的面积为S$,依次连接第$1个长方形各边中点得到1$个菱形,再依次连接菱形各边中点得到第$2$个长方形,按此方法继续下去,则第$n$个长方形的面积为____.

答案： 解：设第1个长方形的长为a，宽为b，则S=ab。
连接第1个长方形各边中点得到的菱形，其两条对角线长分别为原长方形的长和宽，即a和b，该菱形面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}S$。
依次连接菱形各边中点得到第2个长方形，该长方形的长和宽分别为菱形两条对角线长的一半，即$\frac{a}{2}$和$\frac{b}{2}$，面积为$\frac{a}{2} × \frac{b}{2} = \frac{1}{4}ab = \frac{1}{4}S$。
同理，第3个长方形的面积为$\frac{1}{4} × \frac{1}{4}S = \left(\frac{1}{4}\right)^2 S$。
归纳可得，第n个长方形的面积为$\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} S = \frac{S}{4^{n-1}}$。
$\frac{S}{4^{n-1}}$

13. (2024·西安)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a + b)^{n}(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律,如下表所示,后人也将该表称为“杨辉三角”.

(a + b)^{0} = 1
(a + b)^{1} = a + b
(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}
(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}
……当代数式a^{4} + 4×2a^{3} + 6×4a^{2} + 4×8a + 16的值为1时,a的值为____.

答案： 【解析】：本题可先根据杨辉三角的规律将给定代数式进行变形，再结合已知条件列出方程，最后求解方程得到$a$的值。
观察杨辉三角可知$(a + b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b + 6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$。
对代数式$a^{4}+4×2a^{3}+6×4a^{2}+4×8a + 16$进行变形可得：
$a^{4}+4×2a^{3}+6×4a^{2}+4×8a + 16=a^{4}+4×2× a^{3}+6×4× a^{2}+4×8× a + 16=(a + 2)^{4}$
已知代数式$a^{4}+4×2a^{3}+6×4a^{2}+4×8a + 16$的值为$1$，即$(a + 2)^{4}=1$。
根据根式的定义，若$x^n=a$（$n$为偶数），则$x=\pm\sqrt[n]{a}$，对$(a + 2)^{4}=1$求解可得：
$a + 2=\pm\sqrt[4]{1}=\pm1$
当$a + 2 = 1$时，移项可得$a=1 - 2=-1$；
当$a + 2 = -1$时，移项可得$a=-1 - 2=-3$。
【答案】：$a_1=-1$，$a_2=-3$

14. (2025·编写)如图,将形状、大小完全相同的“$□$”按照一定规律摆成下列图形,第$1$幅图中“$□$”的个数为$a_{1}$,第$2$幅图中“$□$”的个数为$a_{2}$,第$3$幅图中“$□$”的个数为$a_{3}$,……$$以此类推,求$\frac{2}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{2}{a_{3}} + … + \frac{2}{a_{2024}}$的值.

答案： 答案略

15. (2024·盐都)甲、乙两张长方形纸片,边长如图$1$所示,其中$m ＞ 0$,面积分别为$S_{甲}和S_{乙}$.
(1)判断$S_{甲}和S_{乙}$的大小关系,并说明理由.
(2)将甲、乙两张纸片按图$2$所示的方式放置,没有重叠的部分用阴影表示,甲纸片阴影部分的面积为$S_{甲阴}$,乙纸片阴影部分的面积为$S_{乙阴}$.若$S_{甲阴} - S_{乙阴} = 4m$,求$m$的值.

答案： 【解析】：
（1）首先计算两张纸片的面积。
甲纸片的边长为$(m+4)$和$(m+9)$，所以面积 $S_{甲}=(m+4)(m+9)$，
展开得$S_{甲}=m^2+13m+36$，
乙纸片的边长为$(m+5)$和$(m+7)$，所以面积 $S_{乙}=(m+5)(m+7)$，
展开得$S_{乙}=m^2+12m+35$，
比较 $S_{甲}$ 和 $S_{乙}$：
$S_{甲}-S_{乙}=(m^2+13m+36)-(m^2+12m+35)=m+1$，
因为$m＞0$，
所以$m+1＞0$，
即$S_{甲}-S_{乙}＞0$，
所以$S_{甲}＞S_{乙}$。
（2）计算阴影部分的面积差。
甲纸片阴影部分的面积 $S_{甲阴}$：
$S_{甲阴}=S_{甲}-S_{重叠部分}=(m+4)(m+9)-(m+5)(m+7)$，
展开得$S_{甲阴}=m^2+13m+36-(m^2+12m+35)=m+1$，
乙纸片阴影部分的面积 $S_{乙阴}$：
$S_{乙阴}=S_{乙}-S_{重叠部分}=(m+5)(m+7)-(m+5)(m+7)=0$（因为乙纸片完全被甲纸片覆盖），
根据题意 $S_{甲阴}-S_{乙阴}=4m$，
即$(m+1)-0=4m$，
移项并合并同类项得$3m=1$，
解得$m=\frac{1}{3}$。
【答案】：
（1）$S_{甲}＞S_{乙}$；理由见解析部分。
（2）$m=\frac{1}{3}$。