《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

12. (1)(2025·青羊)关于$x的方程ax - 1 = x + 4$的解是正整数,则所有满足条件的整数$a$的值是____。
(2)(2025·武侯)已知$m$,$n$是有理数,单项式$-x^{n}y$的次数为3,而且方程$(m + 1)x^{2} + mx - tx + n + 2 = 0是关于x$的一元一次方程。若此方程的解是负整数,则满足条件的所有整数$t$的和为____。

答案：
(1)6或2
(2)-10

13. (1)(2025·编写)已知方程$\frac{1}{3}m = 8 - \frac{2}{3}m的解为m = 8$,求满足$\frac{1}{3}(a^{2}b - 5) = 8 - \frac{2}{3}(a^{2}b - 5)的a^{2}b$的值。
(2)(2025·编写)若$2|x - 3| = |x - 3| + 2$,求$x$的值。

答案：
(1)【解】将$a^2b-5$看成m,则$a^2b-5$是方程$\frac{1}{3}m=8-\frac{2}{3}m$的解,所以$a^2b-5=8$,即$a^2b=13$.
(2)【解】设|x-3|=m,则原方程可转化为2m=m+2,解得m=2.所以|x-3|=2,所以x-3=2或x-3=-2,所以x=5或x=1.即x的值为5或1.

14. (1)(2025·编写)若关于$x的一元一次方程ax + 3 = x + 7$的解是正整数,求整数$a$的值。
(2)(2025·编写)已知关于$x的方程mx + 2 = 2m - 2x的解满足|x - \frac{1}{2}| - 1 = 0$,求$m$的值。

答案：
(1)【解】由ax+3=x+7,得$x=\frac{4}{a-1}$.因为方程ax+3=x+7的解是正整数,所以a-1=1或a-1=2或a-1=4,解得a=2或a=3或a=5.即整数a的值为2或3或5.
(2)【解】由$|x-\frac{1}{2}|-1=0$,得$|x-\frac{1}{2}|=1$,解得$x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{1}{2}$.当$x=-\frac{1}{2}$时,方程mx+2=2m-2x即为$-\frac{1}{2}m+2=2m+1$,解得$m=\frac{2}{5}$;当$x=\frac{3}{2}$时,方程mx+2=2m-2x即为$\frac{3}{2}m+2=2m-3$,解得m=10.综上所述,m的值为$\frac{2}{5}$或10.

15. (2024·武侯)已知$m$,$n$是有理数,单项式$-x^{n}y$的次数为3,方程$(m + 1)x^{2} + mx - tx + n + 2 = 0是关于x$的一元一次方程。若关于$x$的一元一次方程的解是负整数,求满足条件的所有整数$t$的和。

答案： 【解】
∵单项式$-x^ny$的次数为3,
∴n+1=3,解得n=2.
∵方程$(m+1)x^2+mx-tx+n+2=0$是关于x的一元一次方程,
∴m+1=0,且m-t≠0,
∴m=-1,t≠-1,
∴原方程为-x-tx+2+2=0,解得$x=\frac{4}{t+1}$.
∵关于x的一元一次方程的解是负整数,
∴4是t+1的负整数倍,
∴t+1取-4,-2,-1,
∴t=-5或t=-3或t=-2,
∴满足条件的所有整数t的和为(-5)+(-3)+(-2)=-10.