《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

11. (2023·青羊)一个直角三角形直角边边长分别为3和4,将直角三角形绕它所在的一条直角边旋转,则所形成的几何体的体积为____。(结果保留π)

答案： $12π$或$16π$

12. (2025·编写)设三棱柱有a个面,b条棱,c个顶点,则a - b - c= ____。

答案： -10

13. (2025·编写)小勇把棱长为4的正方体分成了29个棱长为整数的小正方体,则其中棱长为1的小正方体有____个。

答案： 24

14. (2025·编写)探究：有一块长6cm、宽4cm的长方形纸板,如图1,现要求以其一组对边中点所在直线为轴,旋转180°,得到一个圆柱,现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图2所示；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图3所示。



(1)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
(2)如果该长方形的长、宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
(3)通过以上探究,你发现对于同一个长方形(不包括正方形),以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱,怎样操作所得到的圆柱体积大？(不必说明原因)

答案： [解]
(1)方案一：$π×3^{2}×4 = 36π(cm^{3})$，
　方案二：$π×2^{2}×6 = 24π(cm^{3})$。
　$\because 36π＞24π$，
∴方案一构造的圆柱的体积大。
(2)方案一：$π×(\frac{5}{2})^{2}×3 = \frac{75}{4}π(cm^{3})$，
　方案二：$π×(\frac{3}{2})^{2}×5 = \frac{45}{4}π(cm^{3})$。
　$\because \frac{75}{4}π＞\frac{45}{4}π$，
∴方案一构造的圆柱的体积大。
(3)由
(1)
(2)，得以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大。

15. (2025·编写)一位画家有若干个边长为1cm的正方体,他在地面上把它们摆成如图所示的形式,然后他把露出的表面都涂上颜色。
(1)图中的正方体一共有多少个？
(2)一点颜色都没涂上的正方体有多少个？
(3)如果画家按此方式摆成七层,那又要多少个正方体？同样涂上颜色,又有多少个正方体没有涂上一点颜色？

答案： [解]
(1)图中的正方体一共有$1 + 4 + 9 = 14$(个)，
(2)一点颜色都没涂上的正方体有1个。
(3)七层的正方体一共有$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} = 140$(个)，
　没有涂上一点颜色的正方体有$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 55$(个)。