《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

13. (2025·简阳) 求 $1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+…+2^{2022}$ 的值,可令 $S = 1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+…+2^{2022}$,则 $2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2023}$,因此 $2S - S = 2^{2023}-1$。仿照以上推理,计算出 $1 + 5 + 5^{2}+5^{3}+…+5^{2024}$ 的值为 。

答案： $\frac{5^{2025}-1}{4}$

14. (1) (2023·简阳) 已知有理数 $a$,$b$,$c$ 满足 $(a - 3)^{2}-|b - 2|= -2$,$|b - 2|+(c - 1)^{2}= 2$,求 $2ac - bc$ 的值。
(2) (2024·锦江) 已知 $|a| = 5$,$b^{2}= 4$,$c^{3}= -8$。若 $a ＜ b ＜ 0$,求 $a + b + c$ 的值。

答案： 14.
(1)【解】因为$(a-3)^{2}-|b-2|=-2$，$|b-2|+(c-1)^{2}=2$，所以$(a-3)^{2}+2=2-(c-1)^{2}$，即$(a-3)^{2}+(c-1)^{2}=0$，所以$a=3$，$c=1$.
把$c=1$代入$|b-2|+(c-1)^{2}=2$，得$b=4$或$b=0$，
当$a=3$，$b=4$，$c=1$时，$2ac - bc=2$；
当$a=3$，$b=0$，$c=1$时，$2ac - bc=6$.
(2)【解】因为$|a|=5$，$b^{2}=4$，$c^{3}=-8$，
所以$a=±5$，$b=±2$，$c=-2$.
因为$a\lt b\lt0$，
所以$a=-5$，$b=-2$，
所以$a+b+c=-5+(-2)+(-2)=-9$.

15. (2025·编写) 阅读材料：
求 $1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2025}$ 的值。
解：设 $S = 1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2025}$。
将等式两边同时乘 2,得 $2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2025}+2^{2026}$。
将下式减去上式,得 $2S - S = 2^{2026}-1$,
即 $S = 1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2025}= 2^{2026}-1$。
请你仿照上述方法计算：
(1) $1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+…+2^{10}$；
(2) $1 + 3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{n}$(其中 $n$ 为正整数)。

答案： 15.【解】
(1)设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{10}$.
将等式两边同时乘2，得
$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{11}$.
将下式减去上式，得
$2S-S=2^{11}-1$，
即$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots +2^{10}=2^{11}-1$.
(2)设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\dots +3^{n}$.
将等式两边同时乘3，得
$3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\dots +3^{n+1}$.
将下式减去上式，得
$3S-S=3^{n+1}-1$，
即$2S=3^{n+1}-1$，
得$S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\dots +3^{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2}$.