《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

9. ($2025$·编写)先化简,再求值：
(1)$5a + 3b + 2(a - b)-(5a - 3b)$,其中$a,b满足\vert a + 1\vert+(b - \frac{1}{2})^{2}= 0$；
(2)$(5ab + 4a + 7b)+(6a - 3ab)-(4ab - 3b)$,其中$a + b = 7$,$ab = 10$；
(3)$(6xy + 7y)+[8x-(5xy - y + 6x)]$,其中$x + 4y = -1$,$xy = 5$。

答案：
(1)【解】原式$=2a+4b$.因为$|a+1|+(b-\frac{1}{2})^{2}=0$,所以$a=-1,b=\frac{1}{2}$,所以原式$=2×(-1)+4×\frac{1}{2}=0$.
(2)【解】原式$=5ab+4a+7b+6a-3ab-4ab+3b=-2ab+10a+10b$.当$a+b=7,ab=10$时,原式$=-2ab+10(a+b)=-2×10+10×7=50$.
(3)【解】原式$=6xy+7y+8x-5xy+y-6x=xy+8y+2x=xy+2(x+4y)$.当$x+4y=-1,xy=5$时,原式$=5+2×(-1)=3$.

10. (1)($2025$·编写)如图所示的运算程序中,若开始输入的$x值为100$,我们发现第$1次输出的结果为50$,第$2次输出的结果为25$,…,求第$2023$次输出的结果。
(运算程序图)
(2)($2024$·锦江)已知$S_{1}= 10$,$S_{2}= \frac{1}{1 - S_{1}}$,$S_{3}= \frac{1}{1 - S_{2}}$,$S_{4}= \frac{1}{1 - S_{3}}$,……,按此规律,求$S_{2024}$的值。

答案：
(1)【解】由运算程序知,依次输出的结果是50,25,32,16,8,4,2,1,8,4,2,1,…,发现从8开始以8,4,2,1为1个循环组进行循环.因为2023-4=2019,2019÷4=504……3,所以第2023次输出的结果是2.
(2)【解】由题知,$\because S_{1}=10$,$\therefore S_{2}=\frac{1}{1-S_{1}}=\frac{1}{1-10}=-\frac{1}{9}$;$S_{3}=\frac{1}{1-S_{2}}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{9})}=\frac{9}{10}$;$S_{4}=\frac{1}{1-S_{3}}=\frac{1}{1-\frac{9}{10}}=10$;……由此可见,这列数按10,$-\frac{1}{9},\frac{9}{10}$循环出现.又$\because 2024÷3=674\cdots\cdots2$,$\therefore S_{2024}=-\frac{1}{9}$.

11. (1)($2025$·编写)观察下列等式：$7^{0}= 1$,$7^{1}= 7$,$7^{2}= 49$,$7^{3}= 343$,$7^{4}= 2401$,$7^{5}= 16807$,…,根据其中的规律可得$7^{0}+7^{1}+7^{2}+…+7^{2023}$的结果的个位数字是____。
(2)($2024$·锦江)将一张纸对折一次可裁$2$张,对折两次可裁$4$张,对折四次可裁____张。

答案：
(1)0
(2)16

12. ($2024$·金牛)定义$f(x)= \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$,$f(a)表示当x = a$时对应式子的值,例如$f(2)= \frac{2^{2}}{1 + 2^{2}}= \frac{4}{5}$,则下列说法：①$f(-\frac{1}{2})= \frac{1}{5}$；②若$a,b$互为相反数,则$f(a)= f(b)$；③若$a,b$互为倒数,则$f(a)+f(b)= 1$；④若$n$为正整数,则$f(1)+f(2)+f(\frac{1}{2})+…+f(n + 1)+f(\frac{1}{n + 1})= n+\frac{1}{2}$。其中正确说法的序号是____。

答案： ①②③④

13. (2024·高新)如图所示,将部分偶数依顺序排列成三角形数阵,从上到下称为行。如图中数6为第2行、从左向右第2个数；数-24为第4行、从左向右第3个数,那么第11行、从左向右第4个数为____。$\begin{array}{ccccccc}& & & 2 & & & \\& & -4 & & 6 & & -8 \\& 10 & & -12 & & 14 & -16 & 18 \\-20 & & 22 & & -24 & & 26 & -28 & 30 & -32 \\\end{array}\\ $

答案： 【解析】观察所给数列可知,所有数的绝对值是从2开始的连续偶数,且第n行有$(2n-1)$个数,
∴前10行一共有$1+3+5+\cdots+19=100$(个)数.又
∵从2开始的第100个偶数是200,即第10行最后一个数的绝对值是200,
∴第11行第一个数的绝对值是202.
∵奇数行第一个数为正,偶数行第一个数为负,且所有行都为正负数相间排列,
∴第11行、从左向右第4个数为-208.

14. ($2025$·编写)观察下列各式：
第$1$个等式：$a_{1}= \frac{1}{1×4}= \frac{1}{3}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})$；
第$2$个等式：$a_{2}= \frac{1}{4×7}= \frac{1}{3}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})$；
第$3$个等式：$a_{3}= \frac{1}{7×10}= \frac{1}{3}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})$；
第$4$个等式：$a_{4}= \frac{1}{10×13}= \frac{1}{3}×(\frac{1}{10}-\frac{1}{13})$；
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律,得第$5$个等式：$a_{5}= $____,第$6$个等式：$a_{6}= $____；
(2)求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}$的值。

答案：
(1)由题意,得第5个等式为$a_{5}=\frac{1}{13×16}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{13}-\frac{1}{16})$,第6个等式为$a_{6}=\frac{1}{16×19}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{16}-\frac{1}{19})$,故答案为$\frac{1}{13×16}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{13}-\frac{1}{16})$;$\frac{1}{16×19}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{16}-\frac{1}{19})$.
(2)$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{10}-\frac{13}{13})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{13}-\frac{1}{16})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{16}-\frac{1}{19})=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{19})=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{19})=\frac{1}{3}×\frac{18}{19}=\frac{6}{19}$.