《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

1. (2025·编写)按一定规律排列的多项式：$ab + 1$,$a^{2}b + 2$,$a^{3}b + 3$,$a^{4}b + 4$,$a^{5}b + 5$,…$$,第$n$个多项式是____.

答案： 【解析】：
观察给定的多项式序列，我们可以看到每个多项式都由两部分组成：一部分是$a$的幂次与$b$的乘积，另一部分是一个常数项。
1. 对于$a$的幂次与$b$的乘积部分，我们可以看到$a$的幂次从1开始递增，即第一个多项式是$a^1b$，第二个是$a^2b$，以此类推。因此，对于第$n$个多项式，这部分应该是$a^nb$。
2. 对于常数项部分，我们可以看到它恰好等于多项式的位置序号，即第一个多项式的常数项是1，第二个是2，以此类推。因此，对于第$n$个多项式，这部分应该是$n$。
综合以上两点，我们可以得出第$n$个多项式的一般形式为$a^nb + n$。
【答案】：
$a^{n}b + n$

2. (2025·编写)如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第$1个图形需要6$根小木棒,拼第$2个图形需要14$根小木棒,拼第$3个图形需要22$根小木棒,……$$按照这样的方法,拼成第$2024$个图形需要____根小木棒.

答案： 【解析】：本题可先通过分析前几个图形所需小木棒的数量，找出其规律，进而得到第$n$个图形所需小木棒数量的表达式，最后将$n = 2024$代入表达式求出结果。
步骤一：分析前几个图形所需小木棒的数量
拼第$1$个图形需要$6$根小木棒，可表示为$6 = 8×1 - 2$。
拼第$2$个图形需要$14$根小木棒，可表示为$14 = 8×2 - 2$。
拼第$3$个图形需要$22$根小木棒，可表示为$22 = 8×3 - 2$。
步骤二：找出第$n$个图形所需小木棒数量的表达式
通过观察上述规律，可以发现拼第$n$个图形需要的小木棒数量为$8n - 2$。
步骤三：计算拼成第$2024$个图形所需小木棒的数量
将$n = 2024$代入$8n - 2$，可得：
$8×2024 - 2$
$= 16192 - 2$
$= 16190$（根）
【答案】：$16190$

3. (2025·编写)如图所示的运算程序中,若开始输入的$x的值为48$,第一次输出的结果为$24$,第二次输出的结果为$12$,……$则第2024$次输出的结果为____.

答案： 解：由题意得，输入x=48时，
第一次输出：48×0.5=24，
第二次输出：24×0.5=12，
第三次输出：12×0.5=6，
第四次输出：6×0.5=3，
第五次输出：3+3=6，
第六次输出：6×0.5=3，
……
从第三次开始，输出结果以6，3循环，循环节长度为2。
∵(2024-2)=2022，2022÷2=1011，
∴第2024次输出的结果为3。
3

4. (2024·沙坪坝)用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案,其中第$1个图案用了4$个正方形,第$2个图案用了6$个正方形,第$3个图案用了8$个正方形,……$$按此规律排列下去,拼成第$2024$个图案需用正方形的个数是____.

答案： 【解析】：
本题可先根据已知条件找出图案序号与所需正方形个数之间的规律，再根据规律求出第$2024$个图案所需正方形的个数，考查的知识点为寻找数字规律以及运用规律解决问题，用到的方法是归纳法。
观察图案可知：
第$1$个图案用了$4$个正方形，可写成$2×1 + 2$；
第$2$个图案用了$6$个正方形，可写成$2×2 + 2$；
第$3$个图案用了$8$个正方形，可写成$2×3 + 2$；
以此类推，可归纳出第$n$个图案所需正方形的个数为$2n + 2$。
当$n = 2024$时，代入上述规律式子中，即可求出第$2024$个图案所需正方形的个数。
【答案】：
将$n = 2024$代入$2n + 2$可得：
$2×2024 + 2$
$= 4048 + 2$
$= 4050$
故答案为：$4050$。

5. (2025·编写)数学活动课上,李老师给出一组按一定规律排列的数：$2$,$-4$,$8$,$-16$,$32$,…$$,第$n$个数是( )

A.$2^{n}$
B.$-2^{n}$
C.$(-1)^{n}×2^{n}$
D.$(-1)^{n + 1}×2^{n}$

答案： 【解析】：
首先，我们观察数列$2, -4, 8, -16, 32, \ldots$，尝试找出每个数与它的位置$n$之间的关系。
第1个数是$2 = 2^1$，
第2个数是$-4 = -2^2$，
第3个数是$8 = 2^3$，
第4个数是$-16 = -2^4$，
第5个数是$32 = 2^5$，
通过观察，我们发现数列的每一项的绝对值都是$2$的某个幂次，且幂次与项数$n$相同。
接下来，我们注意到数列的符号在正负之间交替。这种交替可以通过$(-1)^{n+1}$来表示，当$n$为奇数时，$(-1)^{n+1}$为正；当$n$为偶数时，$(-1)^{n+1}$为负。但考虑到数列的第一项是正数，所以我们应该使用$(-1)^{n+1}$来调整符号，使得当$n=1$时，结果为正。
综合以上观察，我们可以得出数列的第$n$个数是$(-1)^{n+1} × 2^n$。
【答案】：
D. $(-1)^{n + 1} × 2^n$

6. (2025·编写)在日历上,某些数满足一定的规律.如图是某年$8$月份的日历,任意选择图中所示的含$4$个数字的方框部分,设右上角的数字为$a$,则下列叙述中,正确的是( )

A.左上角的数字为$a + 1$
B.左下角的数字为$a + 7$
C.右下角的数字为$a + 8$
D.方框中$4$个位置的数相加,结果是$4$的倍数

答案： 解：设右上角数字为$a$。
A. 左上角数字比右上角数字小1，应为$a - 1$，A错误。
B. 左下角数字比右上角数字大6（同一列下一行），应为$a + 6$，B错误。
C. 右下角数字比右上角数字大7（下一行同一列），应为$a + 7$，C错误。
D. 四个数字分别为$a - 1$，$a$，$a + 6$，$a + 7$，和为$(a - 1) + a + (a + 6) + (a + 7) = 4a + 12 = 4(a + 3)$，是4的倍数，D正确。
答案：D