《2025年天府前沿七年级数学上册北师大版》

12. (1)(2025·成华)若一个直四棱柱的底面是边长为2cm的正方形,侧棱长为4cm,则这个直四棱柱的所有棱长之和是____cm。
(2)(2024·编写)如图,一个圆柱形钢化玻璃容器的底面半径是10cm,把一块铁块从这个容器的水中取出后,水面下降2cm,则这块铁块的体积是____。(结果保留π)

答案：
(1)32
(2)200π cm³

13. (2025·编写)把50个同样大小的小立方体木块堆砌成如图所示的形状,现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆,则有____块小立方体木块完全喷不到漆。

答案： 7

14. (2025·编写)如图,在一个长8厘米、宽5厘米、高6厘米的长方体中,从上面到底面挖一个底面半径是2厘米的圆柱体孔,剩下部分的体积是多少？剩下部分的表面积与原来相比是增加了还是减少了多少？(结果用π表示)

答案： 【解】V=8×5×6-π×2²×6=240-24π(立方厘米),即剩下部分的体积是(240-24π)立方厘米.2π×2×6-2π×2²=16π(平方厘米),即剩下部分的表面积增加了16π平方厘米.

15. (2025·编写)将一个正方体的表面涂上颜色。如图,把正方体的棱二等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到8个小正方体,通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的。
如果把正方体的棱三等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到27个小正方体。通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的,有12个是2个面涂有颜色的,有6个是1个面涂有颜色的,还有1个是各个面都没有涂色。

(1)如果把正方体的棱四等分,所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？
(2)请直接写出将棱七等分时只有1个面涂色的小正方体的个数。

答案： 【解】
(1)把四方体的棱四等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到64个小正方体.其中3个面涂色的有8个,2个面涂色的有24个,1个面涂色的有24个,各个面均不涂色的有8个.同理,把棱n等分时,三面涂色的有8个,2个面涂色的有12(n-2)个,1个面涂色的有6(n-2)²个,各个面均不涂色的有(n-2)³个.
(2)当n=7时,6(n-2)²=6×(7-2)²=150,所以只有1个面涂色的小正方体有150个.