《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 运用平方差公式分解因式：$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

答案： 1.和差

2. 根据平方差公式的结构特征，完成下面的表格。

答案： $2.2x3x^{2}y^{2}2b6a2m+n3n$

例 1 分解因式：
(1)$4m^{2}-1$； (2)$-\frac{9}{4}x^{2}+\frac{16}{25}y^{2}$；
(3)$4a^{2}b - a^{2}b^{3}$；(4)$9(a + b)^{2}-4(a - b)^{2}$。

答案： 例1解：
(1)原式$=(2m)^{2}-1^{2}=(2m+1)(2m-1).(2)$原式=
$\frac{16}{25}y^{2}-\frac{9}{4}x^{2}=(\frac{4}{5}y)^{2}-(\frac{3}{2}x)^{2}=(\frac{4}{5}y+$
$\frac{3}{2}x)(\frac{4}{5}y-\frac{3}{2}x).(3)$原式$=a^{2}b(4-b^{2})=a^{2}b(2+b)$
(2-b).
(4)原式$=[3(a+b)]^{2}-[2(a-b)]^{2}=[3(a+b)+$
2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)]=(5a+b)(a+5b).

例 2 如图，某小区规划在半径为 $R$ 的圆形场地上修建四个半径都为 $r$ 的喷水池$(2r ＜ R)$，其余部分种花草。当 $R = 5m$，$r = 1.25m$ 时，求种花草部分的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。

答案： 例2解：种花草部分的面积为$\pi R^{2}-4\pi r^{2}=\pi(R^{2}-4r^{2})=\pi(R+$
2r)(R-2r).当R=5m，r=1.25m时，原式=3.14×(5+
$2×1.25)×(5-2×1.25)=3.14×7.5×2.5=58.875(m^{2}).$
答：种花草部分的面积为$58.875m^{2}.$

1. 给出下列各式：①$x^{2}+y^{2}$；②$x^{2}-y^{2}$；③$-x^{2}+y^{2}$；④$-x^{2}-y^{2}$；⑤$x^{2}+(-y)^{2}$；⑥$1-\frac{1}{4}x^{2}y^{2}$；⑦$x^{4}-y^{4}$。其中能用平方差公式分解因式的有(C)

A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个

答案： 1.C

2. 分解因式：
(1)[2023·绵阳]$x^{2}-9y^{2}=$(x+3y)(x-3y)。
(2)[2023·北京]$x^{2}y - y^{3}=$y(x+y)(x-y)。
(3)$(a - b)^{2}-4b^{2}=$(a+b)(a-3b)。
(4)$x^{2}(x - 2)+16(2 - x)=$(x-2)(x+4)(x-4)。

答案： 2.
(1)(x+3y)(x-3y)
(2)y(x+y)(x-y)
(3)(a+
b)(a-3b)
(4)(x-2)(x+4)(x-4)