《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

11. 如图，在一块边长为 $a$ 的正方形纸板的四角各剪去一个边长为 $b(b ＜ \frac{a}{2})$ 的正方形。请利用因式分解计算：当 $a = 13.2cm$，$b = 3.4cm$ 时，剩余部分的面积。

答案： 11.解：剩余部分的面积为$a^{2}-4b^{2}=(a+2b)(a-2b).$
∵a=
13.2cm，b=3.4cm，
∴剩余部分的面积为(13.2+2×3.4)×
$(13.2-2×3.4)=20×6.4=128(cm^{2}).$

12. 已知 $m$，$n$ 互为相反数，且$(m + 3)^{2}-(n - 2)^{2}=9$，求 $m$，$n$ 的值。

答案： 12.解：
∵$(m+3)^{2}-(n-2)^{2}=9，$
∴[(m+3)+(n-2)][(m+3)-
(n-2)]=9，整理，得(m+n+1)(m-n+5)=9.
∵m，n互为相
反数，
∴m+n=0，
∴m-n=4.由$\begin{cases}m+n=0,\\m-n=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2,\\n=-2.\end{cases}$

13. 求证：对任意整数 $n$，整式$(3n + 1)(3n - 1)-(3 - n)(3 + n)$ 的值都能被 $10$ 整除。

答案： 13.证明：原式$=(3n)^{2}-1-(3^{2}-n^{2})=9n^{2}-1-9+n^{2}=10n^{2}-$
$10=10(n^{2}-1).$
∵n为整数，
∴$10(n^{2}-1)$能被10整除，即对任
意整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值都能被10
整除.

14. $4^{15}-64$ 可以被在 $60\sim70$ 之间的三个整数整除，这三个数是(B)

A.$61$，$62$，$63$
B.$63$，$64$，$65$
C.$63$，$65$，$67$
D.$62$，$63$，$64$

答案： 14.B

15. 已知$\vert m + 3n - 3\vert+(3m + n + 2)^{2}=0$，求代数式 $4(m + n)^{2}-(m - n)^{2}$ 的值。

答案： 15.解：原式$=[2(m+n)]^{2}-(m-n)^{2}=[2(m+n)+(m-n)]·$
[2(m+n)-(m-n)]=(3m+n)(m+3n).
∵|m+3n-3|+
$(3m+n+2)^{2}=0，$
∴m+3n-3=0,3m+n+2=0，
∴m+3n=
3,3m+n=-2，
∴原式=-2×3=-6.

16. 已知 $a$，$b$ 为正整数，且 $a^{2}-b^{2}=45$，则 $a$，$b$ 可能的值有多少对？

答案： 16.解：
∵$a^{2}-b^{2}=45，$
∴(a+b)(a-b)=45.
∵a，b为正整数，
∴$\begin{cases}a+b=9,\\a-b=5\end{cases}$或$\begin{cases}a+b=15,\\a-b=3\end{cases}$或
$\begin{cases}a+b=45,\\a-b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=7,\\b=2,\end{cases}\begin{cases}a=9,\\b=6,\end{cases}\begin{cases}a=23,\\b=22.\end{cases}$故a，b可能的值有
3对.

17. 已知 $x$，$y$，$z$ 均为正整数，且满足 $x^{2}+z^{2}=10$，$z^{2}+y^{2}=13$，求$(x - y)^{z}$ 的值。

答案： 17.解：
∵$x^{2}+z^{2}=10，$$z^{2}+y^{2}=13，$
∴$y^{2}-x^{2}=3，$
∴(y+x)(y-
x)=3.
∵x，y，z均为正整数，
∴$\begin{cases}y+x=3,\\y-x=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}$
∴$z^{2}=10-1^{2}=9，$
∴z=3，
∴$(x-y)^{z}=(1-2)^{3}=-1.$