《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

3. [教材习题变式]如图，P 为△ABC 内一点，PD⊥BC 于点 D，PE⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，且 PD=PE=PF.
（1）求证：点 P 在∠BAC 的平分线上；
（2）若∠BAC=62°，求∠BPC 的度数.

答案：
3.
(1)证明:如图,连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,PE = PF,
∴AP平分∠BAC,即点P在∠BAC的平分线上.
(2)解:
∵PE⊥AB,PD⊥BC,PE = PD,
∴BP平分∠ABC,
∴∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC.
∵PF⊥AC,PD⊥BC,PD = PF,
∴CP平分∠ACB,
∴∠PCB = $\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BPC = 180° - ∠PBC - ∠PCB = 180° - $\frac{1}{2}$×(∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{2}$×(180° - ∠A) = 180° - $\frac{1}{2}$×(180° - 62°) = 121°.

4. 如图，P 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线与外角∠MBC 的平分线的交点.求证：点 P 在∠BCN 的平分线上.

答案：
4.证明:如图，连接PC,过点P作PG⊥AM于点G,PF⊥BC于点F,PE⊥AN于点E.
∵BP平分∠MBC,
∴PG = PF.同理可得PG = PE,
∴PE = PF.又PF⊥BC,PE⊥AN,
∴点P在∠BCN的平分线上.

1. 如图，△ABC 的外角∠CBE，∠BCD 的平分线交于点 F，连接 AF，则下列结论正确的是(B)

A.AF 平分 BC
B.AF 平分∠BAC
C.AF⊥BC
D.以上结论都正确

答案： 1.B

2. 如图，AB=AC，BE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，BE 与 CF 相交于点 D.有下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的平分线上.其中正确的是(A)

A.①②③
B.②③
C.①③
D.①

答案： 2.A

3. 如图，PA⊥ON 于点 A，PB⊥OM 于点 B，且 PA=PB，∠MON=60°，∠OPC=25°，则∠PCA 的度数是55°.

答案： 3.55°

4. [教材习题变式]如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，O 为 BC 的中点，且 AO 平分∠BAD，连接 DO.若∠BAD=130°，则∠CDO 的度数是25°.

答案： 4.25°

5. 如图，BE=CF，DE⊥AE 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB=DC.求证：AD 平分∠BAC.

答案： 5.证明:
∵DE⊥AE,DF⊥AC,
∴∠E = ∠DFC = 90°.在Rt△BDE 和Rt△CDF中，$\begin{cases} BE = CF, \\ DB = DC, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE = DF.又DE⊥AE,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.