《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 如图，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N.试问PM与PN有何数量关系？为什么？

答案： 1.解：$PM = PN$.理由如下：$\because PN \perp OA$，$PM \perp OB$，$\therefore \angle ONP = \angle OMP = 90^{\circ}.\because OC$平分$\angle AOB$，$\therefore \angle PON = \angle POM$.又$OP = OP$，$\therefore \triangle PON \cong \triangle POM(AAS)$，$\therefore PM = PN$.

2. 角的平分线的性质：
(1)角的平分线上的点到角两边的距离相等；
(2)三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.

答案： 2.
(1)相等

例1 如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.
（1）用直尺和圆规作△BDC的角平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与AC的位置关系（不要求证明）.

答案：
例1　解:
(1)如图所示.
(2)$DE // AC$.
　　　　　　　　　　

例2 解答下列问题.
（1）如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在射线BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM=PN.

（2）如图，P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D.若PD=5，△ABC的周长为20，求△ABC的面积.

答案：
例2　
(1)证明：$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle ABD = \angle CBD$.在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}AB = CB,\\\angle ABD = \angle CBD,\\BD = BD,\end{cases}$ $\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD(SAS)$，$\therefore \angle ADB = \angle CDB$，即$DP$平分$\angle ADC$.又$PM \perp AD$，$PN \perp CD$，$\therefore PM = PN$.
(2)解：如图，过点$P$作$PE \perp BC$于点$E$，$PF \perp AC$于点$F$.由角的平分线的性质，得$PD = PE = PF = 5.\because S_{\triangle ABC} = S_{\triangle APB} + S_{\triangle APC} + S_{\triangle BPC}$，$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot PD + \frac{1}{2}AC \cdot PF + \frac{1}{2}BC \cdot PE = \frac{1}{2}PD \cdot (AB + AC + BC) = \frac{1}{2} × 5 × 20 = 50$.