《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

11. 先化简，再求值：$(a + 3)^2 - (a + 1)(a - 1) - 2(2a + 4)$，其中 $a = -\frac{1}{2}$.

答案： 11.解：原式$=a^{2}+6a + 9 - a^{2}+1 - 4a - 8=2a + 2$.当$a=-\frac{1}{2}$时，
原式$=2×(-\frac{1}{2})+2 = 1$.

12. 已知 $(x + \frac{1}{2})^2 = 2$，求 $(x - 1)^2 - x(x - 3) + (x + 2)(x - 2)$ 的值.

答案： 12.解：原式$=x^{2}-2x + 1 - x^{2}+3x + x^{2}-4=x^{2}+x - 3.\because(x+\frac{1}{2})^{2}=2$，$\therefore x^{2}+x+\frac{1}{4}=2$，$\therefore x^{2}+x=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$，$\therefore$原
式$=x^{2}+x - 3=\frac{7}{4}-3=-\frac{5}{4}$.

13. 已知 $x + y = 3$，$xy = -12$，求下列各式的值：
(1) $(x - 1)(y - 1)$；
(2) $x^2 + y^2$；
(3) $x^2 - xy + y^2$.

答案： 13.解：
(1)$(x - 1)(y - 1)=xy - x - y + 1=xy-(x + y)+1=-12 - 3 + 1=-14$.
(2)$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy=33$.
(3)【方法
一】$x^{2}-xy + y^{2}=(x^{2}+y^{2})-xy=45$.【方法二】$x^{2}-xy + y^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}-3xy=(x + y)^{2}-3xy=3^{2}-3×(-12)=45$.

14. 已知实数 $a$，$b$ 满足 $a + b = 2$，$ab = \frac{3}{4}$，则 $a - b$ 的值为 (C)

A.$1$
B.$-\frac{5}{2}$
C.$\pm 1$
D.$\pm \frac{5}{2}$

答案： 14.C

15. 如图，长方形 $ABCD$ 的周长为 $16$，以它的四条边为边向外作四个正方形.若四个正方形的面积之和为 $68$，则长方形 $ABCD$ 的面积为 (B)


A.$12$
B.$15$
C.$18$
D.$20$

答案： 15.B

16. 阅读理解 阅读材料：
已知 $(210 - x)(x - 200) = -204$，求 $(210 - x)^2 + (x - 200)^2$ 的值.
解：设 $a = 210 - x$，$b = x - 200$，
则 $ab = -204$.
$\because a + b = 210 - x + x - 200 = 10$，
$\therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
$= 10^2 - 2×(-204)$
$= 508$，
即 $(210 - x)^2 + (x - 200)^2 = 508$.
问题解决：
已知 $(2025 - x)^2 + (2022 - x)^2 = 4041$，求 $(2025 - x)(2022 - x)$ 的值.

答案： 16.解：设$a = 2025 - x$，$b = 2022 - x$，则$a^{2}+b^{2}=4041.\because a - b = 2025 - x-(2022 - x)=3$，$\therefore(a - b)^{2}=9$，即$a^{2}-2ab + b^{2}=9$，$\therefore4041 - 2ab = 9$，解得$ab = 2016$，即$(2025 - x)(2022 -x)=2016$.