《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

9. 如图，$BD$与$CD$分别平分$△ABC$的外角$∠EBC$，$∠FCB$.求证：$∠D=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$.

答案： 9.证明:
∵BD平分∠EBC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC)=90°−$\frac{1}{2}$∠ABC,同理可得∠DCB=90°−$\frac{1}{2}$∠ACB.又∠D=180°−∠DBC−∠DCB,
∴∠D=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.

10. 如图，在$△ABC$中，$∠ABC$的平分线与$△ABC$的外角$∠FAC$的平分线相交于点$E$.
(1)若$∠C=78^{\circ}$，求$∠E$的度数；
(2)若$∠C=\alpha$，请直接写出$∠E$的度数(用含$\alpha$的式子表示).

答案： 10.解:
(1)
∵AE平分∠FAC,
∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠FAC.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC.又∠FAE=∠ABE+∠E,
∴∠E=∠FAE−∠ABE=$\frac{1}{2}$(∠FAC−∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠C=39°.
(2)∠E=$\frac{1}{2}$α.

11. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张$△ABC$纸片，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，将$△ABC$沿着$DE$折叠压平，点$A$与点$A'$重合.若$∠A=65^{\circ}$，则$∠1+∠2$的度数是130°.

答案： 11.130°

12. 如图，小明把一副含$45^{\circ}$，$30^{\circ}$角的直角三角尺重叠摆放，其中$∠C=∠F=90^{\circ}$，$∠A=45^{\circ}$，$∠D=30^{\circ}$，则$∠1+∠2$的度数是210°.

答案： 12.210°

13. 如图，在$△ABC$中，$∠B=∠C$，$D$为边$BC$上一点，点$E$在$CA$的延长线上，连接$AD$，$DE$.若$∠E=∠ADE$，探究$∠BDE$与$∠BAD$之间的数量关系.

答案： 13.解:设∠E=∠ADE=α,
∴∠CAD=∠E+∠ADE=2α,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+2α.
∵∠B=∠C,
∴∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC).即∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAD−2α)=90°−$\frac{1}{2}$∠BAD−α,
∴∠BDE=∠C+∠E=90°−$\frac{1}{2}$∠BAD−α+α=90°−$\frac{1}{2}$∠BAD,即∠BDE=90°−$\frac{1}{2}$∠BAD.