《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD = BD$，$DE \perp AB$于点$E$.若$BC = 6$，且$\triangle BDC$的周长为$15$，则$AE$的长为$\frac{9}{2}$.

答案： 8.$\frac{9}{2}$

9. 如图，利用直尺和圆规作出线段$AB$的垂直平分线$EF$交$AB$于点$D$，并在射线$DG$上截取$DC = DB$，连接$AC$，$BC$.若$AC = 2$，$BC = \frac{38}{11}$，求$\triangle ABC$的面积.

答案： 9.解:由作图,得D为AB的中点.
∵DC = DB，
∴DC = DA = DB，
∴∠DCB = ∠B，∠DCA = ∠A．
∵∠A + ∠ACB + ∠B = 180°，
∴∠A + ∠DCA + ∠DCB + ∠B = 180°，
∴2(∠DCA + ∠DCB) = 180°，
∴∠DCA + ∠DCB = ∠ACB = 90°，即△ACB为直角三角形，
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} × 2 × \frac{38}{11} = \frac{38}{11}$．

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$BC$上一点，$BA = BD$，且$AB // DE$.
（1）求证：$\angle ADC = \angle ADE$；
（2）若$AE$是$\angle BAD$的平分线，且$\angle B = 36^{\circ}$，求$\angle E$的度数.

答案： 10.
(1)证明:
∵AB//DE，
∴∠BAD + ∠ADE = 180°．
∵BA = BD，
∴∠BAD = ∠BDA，
∴∠BDA + ∠ADE = 180°．又∠BDA + ∠ADC = 180°，
∴∠ADC = ∠ADE．
(2)解:
∵AB = BD，∠B = 36°，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B) = $\frac{1}{2}$ × (180° - 36°) = 72°．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = 36°．
∵AB//DE，
∴∠E = ∠BAE = 36°．

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$，$E$，$F$分别在$BC$，$AB$，$AC$上，$BD = CF$，$BE = CD$，连接$EF$，$G$是$EF$的中点，连接$DG$.求证：$DG \perp EF$.

答案：
11.证明:如图，连接DE，DF．
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C．又BD = CF，BE = CD，
∴△BDE≌△CFD(SAS)，
∴DE = DF．
∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

12. 如图，点$B$，$D$在射线$AM$上，点$C$，$E$在射线$AN$上，且$AB = BC = CD = DE$.若$\angle EDM = 84^{\circ}$，则$\angle A$的度数为21°.

答案： 12.21°

13. [2024·内江]如图，在$\triangle ABC$中，$\angle DCE = 40^{\circ}$，$AE = AC$，$BC = BD$，则$\angle ACB$的度数为100°.

答案： 13.100°

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$，$E$分别是$AB$，$BC$上的点，连接$DE$并延长与$AC$的延长线交于点$F$.若$DE = EF$，求证：$DB = CF$.

答案：
14.证明:如图,过点D作DG//AF交BC于点G,则∠DGB = ∠ACB，∠DGE = ∠FCE．在
$\triangle DGE$和$\triangle FCE$中，$\begin{cases}\angle DGE = \angle FCE, \\\angle DEG = \angle FEC, \\DE = FE,\end{cases}$
∴△DGE≌△FCE（AAS），
∴DG = FC．
又AB = AC，
∴∠ACB = ∠B，
∴∠B = ∠DGB．如图,过点D作DH⊥BG于点H．易证△DHB≌△DHG（AAS），
∴DB = DG，
∴DB = CF．