《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，PQ⊥AB于点Q，交BC于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF.若AF与PQ的夹角为α，则α的度数是55°.

答案： 1.$55^{\circ}$

2. 如图，已知△ABC.
（1）用直尺和圆规分别作出∠ABC和∠ACB的平分线，两条平分线交于点P；
（2）若∠A=80°，求∠BPC的度数.

答案：
2.解:
(1)如图所示.
(2)$\because \angle A = 80^{\circ}$，$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$，$\therefore \angle PBC + \angle PCB = \frac{1}{2} × 100^{\circ} = 50^{\circ}$.在$\triangle BPC$中，$\angle BPC = 180^{\circ} - (\angle PBC + \angle PCB) = 130^{\circ}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF.求证：CF=BE.

答案： 3.证明：$\because \angle C = 90^{\circ}$，$DC \perp AC$，$\because AD$平分$\angle BAC$，$DC \perp AC$，$DE \perp AB$，$\therefore DC = DE$.在$Rt \triangle CDF$和$Rt \triangle EDB$中，$\begin{cases}DB = DB,\\\angle BDE = \angle CDE,\\DC = DE,\end{cases}$ $\therefore Rt \triangle CDF \cong Rt \triangle EDB(HL)$，$\therefore CF = BE$.

4. 如图，AM//BN，∠MAB和∠NBA的平分线交于点P，过点P作PE⊥BN于点E，EP的延长线交AM于点F.若AB=5，EF=4，求△APB的面积.

答案：
4.解：如图，过点$P$作$PD \perp AB$于点$D$.$\because AM // BN$，$PE \perp BN$，$\therefore PF \perp AM$.$\because AP$平分$\angle MAB$，$PF \perp AM$，$PD \perp AB$，$\therefore PD = PF.\because BP$平分$\angle NBA$，$PE \perp BN$，$PD \perp AB$，$\therefore PD = PE$，$\therefore PD = PE = PF = \frac{1}{2}EF = 2$，$\therefore S_{\triangle APB} = \frac{1}{2}AB \cdot PD = \frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1. 到三角形三边距离相等的点是(C)

A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.不能确定

答案： 1.C

2. [2024·天津改编]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°.根据图中的作图痕迹，得∠ADC的度数为(B)

A.60°
B.65°
C.70°
D.75°

答案： 2.B

3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利直尺和圆规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD；分别以点D，E为圆心，以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧在∠CBA内相交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG=1，P为AB上一动点，则GP的最小值为(C)
$A. \frac{2}{3}$
$B. \frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

答案： 3.C