《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.若AB=6，则△DBE的周长是(A)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： 4.A

5. [教材习题变式]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若$S_{△ABC}=7，$DE=2，AB=4，则边AC的长为(B)

A.4
B.3
C.6
D.5

答案： 5.B

6. [2024·湖南改编]如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2，AD=4MD，则AM=6，$\frac{BD}{AB}=$$\frac{1}{3}$.

答案： 6.$\frac{1}{3}$

7. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积为30.

答案： 7.$30$

8. [教材习题变式]如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D.
(1)利用直尺和圆规在BD上找一点E，使得点E到AC，BC的距离相等(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若DE=5，BC=20，则△BCE的面积为50.

答案：
8.解:
(1)如图所示.
(2)$50$.
　　　　　　 　　

9. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，ED⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G.求证：BF=CG.

答案： 9.证明：如图，连接$BE$，$EC$.$\because ED \perp BC$，$\therefore \angle BDE = \angle CDE = 90^{\circ}$.$\because D$为$BC$的中点，$\therefore BD = CD$.在$\triangle BDE$和$\triangle CDE$中，$\begin{cases}BD = CD,\\\angle BDE = \angle CDE,\\ED = ED,\end{cases}$ $\therefore \triangle BDE \cong \triangle CDE(SAS)$，$\therefore BE = CE$.$\because EF \perp AB$，$EG \perp AC$，且$AE$平分$\angle BAC$，$\therefore EF = EG$.在$Rt \triangle BFE$和$Rt \triangle CGE$中，$\begin{cases}BE = CE,\\EF = EG,\end{cases}$ $\therefore Rt \triangle BFE \cong Rt \triangle CGE(HL)$，$\therefore BF = CG$.

10. 在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=8.
(1)如图①，O是三条角平分线的交点，则$S_{△AOB}$：$S_{△AOC}$：$S_{△BOC}=$2:3:4；
(2)如图②，AD平分∠BAC，求$S_{△ABD}$：$S_{△ACD}$的值，并求此时CD的长.

答案：
10.解：
(1)$2:3:4$.
(2)如图②，过点$D$作$DM \perp AB$于点$M$，$DN \perp AC$于点$N.\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore DM = DN$，$\therefore \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot DM}{\frac{1}{2}AC \cdot DN} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}.\because \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BD}{CD}$，$\therefore \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} \therefore \frac{2}{3} = \frac{8 - CD}{CD}$，解得$CD = \frac{24}{5}$.