《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

6. 如图，D，E，F 分别是等边三角形 ABC 三边 AB，BC，AC 上的点.若△DEF 也是等边三角形，且 AD = 2，CE = 3，则 AC 的长是5.

答案： 6.5

7. 如图，在△ABC 中，AB = 4，BC = 5，AC = 2，分别以 BC，AC 为边作等边三角形 BCE 和等边三角形 ACD，连接 DE，则四边形 ABED 的周长是15.

答案： 7.15

8. 如图，△ABC 为等边三角形，D 是 BC 的延长线上一点，连接 AD，以 AD 为边作等边三角形 ADE，连接 CE.试探究 AC，CD，CE 三条线段之间的数量关系，并说明理由.

答案： 8.解:CE=AC+CD.理由如下:
∵△ABC与△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴CE=BD=BC+CD=AC+CD.

9. [2024·宜宾改编]如图，△ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在 BC，AB 上，且 AE = BD，AD 与 CE 相交于点 F.
(1)求证：AD = CE；
(2)求∠CFD 的度数.

答案： 9.
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BA,∠EAC=∠B=60°.又AE=BD,
∴△ACE≌△BAD(SAS),
∴AD=CE.
(2)解:由
(1),得△ACE≌△BAD,
∴∠ACE=∠BAD.
∵∠CFD=∠FAC+∠ACE,
∴∠CFD=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°.

10. 如图，D 为等边三角形 ABC 内的一点，AD = BD，BP 与 BC 关于 BD 成轴对称，连接 DP，则∠P 的度数为30°.

答案： 10.30°

11. 如图，C 为线段 AE 上一动点(不与点 A，E 重合)，在 AE 同侧分别作等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE，AD 与 BE 相交于点 O，AD 与 BC 相交于点 P，BE 与 CD 相交于点 Q，连接 PQ.有以下五个结论：①AD = BE；②PQ // AE；③AP = BQ；④DE = DP；⑤∠AOB = 60°.其中恒成立的是①②③⑤(填序号).

答案： 11.①②③⑤

12. 如图，在等边三角形 ABC 中，M 为 AB 边上任意一点，延长 BC 至点 N，使 CN = AM，连接 MN 交 AC 于点 P，MH ⊥ AC 于点 H.
(1)求证：MP = NP；
(2)若 AB = a，求线段 PH 的长(用含 a 的代数式表示).

答案：
12.
(1)证明:如图，过点M作MQ//BC,交AC于点Q,
∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,
∴△AMQ是等边三角形.
∵CN = AM，
∴QM = AM = CN，∠MQP=∠NCP=120°.在△PQM中,∠MQP=∠NCP,∠MPQ=∠NPC,
∴△PQM≌△PCN(AAS),
∴MP=NP，QM=CN.
(2)解:
∵MA=MQ,MH⊥AC,
∴AH=QH=$\frac{1}{2}$AQ.由
(1),得△PQM≌△PCN,
∴PQ=PC=$\frac{1}{2}$CQ,
∴PH=QH+PQ=$\frac{1}{2}$AQ+$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{1}{2}$(AQ+CQ)=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a,即PH的长为$\frac{1}{2}$a.