《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).

答案： 1.斜边、直角边　　HL

2. 如图，已知 $ AB \perp BC $，$ AD \perp DC $.

(1) 如果 $ \angle 1 = \angle 2 $，那么 $ \triangle ABC \cong \triangle ADC $ 的依据是AAS；
(2) 如果 $ \angle 3 = \angle 4 $，那么 $ \triangle ABC \cong \triangle ADC $ 的依据是AAS；
(3) 如果 $ AB = AD $，那么 $ \triangle ABC \cong \triangle ADC $ 的依据是HL；
(4) 如果 $ AB = AD $，$ BC = DC $，那么 $ \triangle ABC \cong \triangle ADC $ 的依据是SSS (或SAS或HL).

答案： 2.
(1)AAS　
(2)AAS　
(3)HL　
(4)SSS (或SAS或HL)

例题 如图，$ AB = DC $，$ \angle A = \angle D = 90° $，$ AC $，$ BD $ 相交于点 $ E $，$ EF // BC $ 交 $ CD $ 于点 $ F $. 求证：$ EF $ 平分 $ \angle DEC $.

答案： 例题　证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，$\begin{cases}AB = DC,\\BC = CB,\end{cases}$
$\therefore Rt \bigtriangleup ABC \cong Rt \bigtriangleup DCB(HL)$，$\therefore \angle ACB = \angle DBC$。
$\because EF // BC$，$\therefore \angle FEC = \angle ACB$，$\angle DEF = \angle DBC$，
$\therefore \angle FEC = \angle DEF$，即EF平分$\angle DEC$。

1. [教材习题变式] 如图，$ AB = DC $，$ BE \perp AD $ 于点 $ E $，$ CF \perp AD $ 于点 $ F $，则在下列条件中选择一个就可以判定 $ Rt \triangle ABE \cong Rt \triangle DCF $ 的有①②③④(填序号).
① $ \angle B = \angle C $；② $ AB // CD $；③ $ BE = CF $；④ $ AF = DE $.

答案： 1.①②③④

2. 如图，$ AB = CD $，$ AE \perp BD $ 于点 $ E $，$ CF \perp BD $ 于点 $ F $，$ AE = CF $，则图中的全等三角形有3对.

答案： 2.3

3. 如图，$ AD $，$ AF $ 分别是 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ABE $ 的高，$ AD = AF $，$ AC = AE $. 求证：$ BC = BE $.

答案： 3.证明：由题意，得$\angle D = \angle F = 90^{\circ}$。在Rt△ABD和Rt△ABF中，$\begin{cases} AD = AF,\\ AB = AB, \end{cases}$
$\therefore Rt \bigtriangleup ABD \cong Rt \bigtriangleup ABF(HL)$，$\therefore BD = BF$。在Rt△ACD和Rt△AEF中，$\begin{cases} AD = AF,\\ AC = AE, \end{cases}$
$\therefore Rt \bigtriangleup ACD \cong Rt \bigtriangleup AEF (HL)$，$\therefore CD = EF$，$\therefore BD−CD=BF−EF$，即$BC = BE$。