《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 如图，将长为 $a$ m，宽为 $m$ m 的长方形花园扩大，长增加 $b$ m，宽增加 $n$ m。你能用几种方法求出扩大后的花园的面积？由此你能得到什么等式？

答案： 1.解：【方法一】S四边形ABCD=(a+b)(m+n)m²。【方法二】S四边形ABCD=(am+an+bm+bn)m²。由此可得(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。

2. 多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

答案： 2.每一项相加

例 1 计算：
(1) $(-a+\frac{1}{2}b)(2a-\frac{1}{2}b)$；
(2) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$；
(3) $(x - 1)(x + 2)(2x - 1)$。
例 2 先化简，再求值：$(x - 1)(x^2 - 4x + 4) - x(x^2 - 5x + 2)$，其中 $x = \frac{5}{6}$。

答案： 例1解：
(1)原式$=-2a²+ab+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{4}b²=-2a²+\frac{3}{2}ab-\frac{1}{4}b²。$
(2)原式=x³-x²+x+x²-x+1=x³+1。
(3)原式=(x²+2x-x-2)(2x-1)=(x²+x-2)(2x-1)=2x³-x²+2x²-x-4x+2=2x³+x²-5x+2。例2解：原式=x³-4x²+4x-x²+4x-4-x³+5x²-2x=6x-4.当$x=\frac{5}{6}$时，原式$=6×\frac{5}{6}-4=1。$

1. 填空：
(1) $(x - 3)(x + 4) =$x²+x-12；
(2) $(x - 5y)(3x - 4y) =$3x²-19xy+20y²；
(3) $(-2a + 3b)(2a + 3b) =$-4a²+9b²；
(4) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) =$a³-b³。

答案： 1.
(1)x²+x-12
(2)3x²-19xy+20y²
(3)-4a²+9b²
(4)a³-b³

2. 若一个三角形的一边长为 $3a + 2b$，这条边上的高为 $4a - b$，则它的面积为6a²+\frac{5}{2}ab-b²。

答案： $2.6a²+\frac{5}{2}ab-b²$

3. 若 $a + b = 4$，$ab = 3$，则 $(a + 2)(b + 2)$ 的值是15。

答案： 3.15

4. 若 $(x + 2)(x - 1) = x^2 + mx + n$，则 $(m + n)^2$ 的值是1。

答案： 4.1

5. 已知 $5x^2 - x - 1 = 0$，求 $(3x + 2)(3x - 2) + x(x - 2)$ 的值。

答案： 5.解：原式=9x²-6x+6x-4+x²-2x=10x²-2x-4。
∵5x²-x-1=0，
∴10x²-2x=2，
∴原式=2-4=-2。