《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 我们把形如 $a^{2}\pm 2ab + b^{2}$ 的式子叫作完全平方式.

答案： 1.完全平方式

2. 运用完全平方公式分解因式：$a^{2}\pm 2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

答案： 2.积的2倍

3. 根据完全平方式的结构特点，完成下面的表格.

答案： 3.m 7 4x 3 x 2y m-n 3n

例1 分解因式：
(1)$x^{2}-4x + 4$；
(2)$3x^{3}+6x^{2}y + 3xy^{2}$；
(3)$4(m - n)^{2}+12(m - n)+9$.

答案： 例1 解：
(1)原式$=(x-2)^2.(2)$原式$=3x(x^2+2xy+y^2)=3x(x+y)^2.(3)$原式$=[2(m-n)]^2+12(m-n)+3^2=[2(m-n)+3]^2=(2m-2n+3)^2.$

例2 已知 $x^{2}+y^{2}-4x + 10y + 29 = 0$，求代数式 $x^{2}y^{2}+2x^{3}y^{2}+x^{4}y^{2}$ 的值.

答案： 例2 解：
∵$x^2+y^2-4x+10y+29=0，$
∴$x^2-4x+4+y^2+10y+25=0,$即$(x-2)^2+(y+5)^2=0.$
∵$(x-2)^2≥0,(y+5)^2≥0，$
∴$\begin{cases}x-2=0,\\y+5=0,\end{cases} $解得$\begin{cases}x=2,\\y=-5,\end{cases} $
∴原式$=x^2y^2(1+2x+x^2)=x^2y^2(1+x)^2=2^2×(-5)^2×(1+2)^2=900.$

1. [2023·凉山州]已知 $y^{2}-my + 1$ 是完全平方式，则 $m$ 的值是±2.

答案： 1.±2

2. 分解因式：
(1)[2023·临夏州]$ax^{2}-2ax + a=$a(x-1)^2.
(2)[2024·达州]$3x^{2}-18x + 27=$3(x-3)^2.
(3)$(a - b)(a - 4b)+ab=$(a-2b)^2.

答案： $2.(1)a(x-1)^2 (2)3(x-3)^2 (3)(a-2b)^2$

3. (1)若 $m + 2n = 1$，则代数式 $3m^{2}+12mn + 12n^{2}$ 的值是3；
(2)[2024·广西改编]若 $a + b = 3$，$ab = 1$，则 $a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$ 的值是9.

答案： 3.
(1)3
(2)9

4. 若 $x^{2}+y^{2}-4x + 6y + 13 = 0$，则 $x + y$ 的值是-1.

答案： 4.-1