《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

10. 如图，△ABC 是等边三角形，CM // AB，D 为 BC 上任意一点，∠ADE = 60°，DE 交 CM 于点 E，试探究线段 CD，CE 和 AB 之间的数量关系，并说明理由.

答案：
10.解:AB=CD+CE.理由如下:如图,过点D作DF//AC交AB于点F.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∵DF//AC,
∴∠FDB=∠ACB=60°,
∴△FBD是等边三角形,
∴DF=BF=BD,∠BFD=60°,
∴AB−BF=BC−BD,即AF=DC,∠AFD=180°−∠BFD=120°.
∵CM//AB,
∴∠DCE=180°−∠B=120°,
∴∠AFD=∠DCE=120°.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠EDC=120°.
∵∠B=60°,
∴∠ADB+∠DAF=120°,
∴∠DAF=∠EDC,
∴△ADF≌△DEC(ASA),
∴CE=DF=BF,
∴AB=AF+BF=CD+CE.

11. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 E. 若 BD + AC = 24，则 BD - AC 的值为8.

答案： 11.8

12. 如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，DE ⊥ AB 于点 E. 若△ADE 的面积为 S，则四边形 BCDE 的面积为7S.

答案： 12.7S

13. 如图，在△ABC 中，∠C = 45°，∠ABC = 120°，BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，AB 的垂直平分线交 AB 于点 F，交 AC 于点 H.

(1)∠A 的度数为15°；(2)$\frac{CE}{AH}$ = $\frac{1}{2}$.

答案： 13.15°　$\frac{1}{2}$

14. 如图，在等边三角形 ABC 中，BD = CE，AD 与 BE 相交于点 P，AQ ⊥ BE 于点 Q，PD = 2，PQ = 6，求 BE 的长.

答案： 14.解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°.又BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE,AD=BE,
∴∠APQ=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°.
∵AQ⊥BE,
∴∠PAQ=30°,
∴AP=2PQ=12,
∴AD=AP+PD=14,
∴BE=AD=14.

15. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC = AB，点 A 在 x 轴的负半轴上，直角顶点 B 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上方.
(1)如图①，点 B 的坐标是(0，1).
①若∠ABO = 60°，则 AB = 2；
②若点 A 的坐标是(-3，0)，求点 C 的坐标.
(2)如图②，过点 C 作 CD ⊥ y 轴于点 D，请写出线段 OA，OD，CD 之间的数量关系，并说明理由.
(3)如图③，若 x 轴恰好平分∠BAC，BC 交 x 轴于点 E，过点 C 作 CF ⊥ x 轴于点 F，写出线段 CF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由.

答案：
15.解:
(1)①2.②如图①,过点C作CH⊥y轴于点H.易得△ABO≌△BCH(AAS或ASA),
∴CH=OB=1,BH=OA=3,
∴OH=OB+BH=4,
∴点C的坐标是(−1,4).
(2)OA=CD+OD.理由如下:易得△ABO≌△BCD(AAS或ASA),
∴CD=OB,OA=BD,
∴OA=BD=OB+OD=CD+OD.
(3)CF=$\frac{1}{2}$AE.理由如下:如图③,延长CF交AB的延长线于点G,
∵∠CBG=90°,
∴∠BCG+∠G=90°.
∵∠GAF+∠G=90°,
∴∠BCG=∠GAF,
∴△ABE≌△CBG(ASA),
∴AE=CG.
∵x轴平分∠BAC,CF⊥x轴,易得△ACF≌△AGF (ASA),
∴CF=GF,
∴CF=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{1}{2}$AE.