《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

例 3 如图，A，B 两地位于一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥 MN，使 A 地到 B 地的路径(即 A→M→N→B)最短.请作出桥 MN 的修建位置(河岸 a//b，桥 MN 与河岸垂直).

答案：
例3　解:如图，将点A沿与河岸垂直的方向向下平移河的宽度至点A'，连接A'B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线b交直线a于点M，此时MN即为桥的修建位置.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1. 如图，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC 的长为 6，△ABC 的面积为 36，腰 AC 的垂直平分线分别交 AC，AB 边于点 E，F，D 为边 BC 的中点，M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为15.

答案： 1.15

2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 7，BD 是△ABC 的角平分线，P，N 分别是 BD，AC 上的动点，点 M 在 BC 上，且 BM = 1，则 PM + PN 的最小值为3.

答案： 2.3

3. 如图，在四边形 ABCD 中，∠C = 50°，∠B = ∠D = 90°，E，F 分别是 BC，DC 上的点.当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为80°.

答案： 3.80°

4. 有一个养鱼专业户在如图所示的两个池塘里养鱼，他住的地方在 P 点，每天早上他都去两个池塘边投放鱼食.请问他怎样走才能以最短的路程回到住地？请画图说明.

答案：
4.解:如图,分别作点P关于OB,OC的对称点P₁,P₂,连接P₁P₂ 与OB,OC交于点N,M,连接PM,PN,则他按PM→MN→NP(或PN→NM→MP)的路线走,能以最短的路程回到住地.
　　　　　

5. 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 4，BC = 8，E 为 CD 的中点，P，Q 为 BC 上的两个动点，且 PQ = 2，当四边形 APQE 的周长最小时，求 BP 的长.

答案：
5.解:如图，将点A向右平移2个单位长度得到点F，作点F关于直线BC的对称点G，连接EG，交BC于点Q，连接FQ，则AP = FQ，GQ = FQ.
∵C四边形APQE = AP + PQ + QE + AE，AE，PQ的长为定值，
∴当AP + QE的值最小时，四边形APQE的周长最小.
∵AP + QE = FQ + QE = GQ + QE，
∴当E，Q，G三点共线时，AP + QE的值最小.如图，过点G作GH⊥DC，交DC的延长线于点H.
∵点F，G关于直线BC对称，
∴FG = 2AB = 8，
∴DH = 8.
∵E为CD的中点，
∴CE = DE = 2，
∴EH = 8 - 2 = 6，
∴GH = EH = 6.
∵∠H = 90°，
∴△EHG为等腰直角三角形.
设BP = x，则CQ = BC - BP - PQ = 8 - x - 2 = 6 - x.在△CQE中，
∵∠QCE = 90°，∠CEQ = 45°，
∴CQ = EC，
∴6 - x = 2，解得x = 4，
∴BP = 4.