《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 计算下列各题，把你发现的规律用文字语言表述出来。
(1) $(a + 2)(a - 2) =$$a^{2}-4$；
(2) $(b + 3)(b - 3) =$$b^{2}-9$；
(3) $(m + n)(m - n) =$$m^{2}-n^{2}$；
(4) $(2a + b)(2a - b) =$$4a^{2}-b^{2}$。
规律：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

答案： 1.
(1)$a^{2}-4$
(2)$b^{2}-9$
(3)$m^{2}-n^{2}$
(4)$4a^{2}-b^{2}$ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差

例 1 计算：
(1) $(\frac{2}{3}x + 5)(\frac{2}{3}x - 5)$；
(2) $(-x + 2y)(-x - 2y)$；
(3) $(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2})(x^2 + \frac{1}{4})$；
(4) $40\frac{2}{3}×39\frac{1}{3}$。

答案： 例1 解：
(1)原式=$(\frac{2}{3}x)^{2}-5^{2}=\frac{4}{9}x^{2}-25$
(2)原式=$(-x)^{2}-(2y)^{2}=x^{2}-4y^{2}$
(3)原式=$(x^{2}-\frac{1}{4})(x^{2}+\frac{1}{4})=x^{4}-\frac{1}{16}$
(4)原式=$(40+\frac{2}{3})×(40-\frac{2}{3})=1599\frac{5}{9}$.

例 2 先化简，再求值：$(-a^2 + 2b^2)(2b^2 + a^2) - 2(a + b)(a - b)(a^2 + b^2)$，其中 $a = 1$，$b = -\frac{1}{2}$。

答案： 例2 解：原式=$(2b^{2})^{2}-(a^{2})^{2}-2(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=4b^{4}-a^{4}-2(a^{4}-b^{4})=4b^{4}-a^{4}-2a^{4}+2b^{4}=6b^{4}-3a^{4}$.当$a=1$，$b=-\frac{1}{2}$时，原式=$6×(-\frac{1}{2})^{4}-3×1=-\frac{21}{8}$.

1. 下列各式能用平方差公式计算的有(C)
① $(a + b)(a - 2b)$；② $(x - y)(x + y)$；③ $(3n + m)(m - 3n)$；④ $(x - 2y)(-x + 2y)$；⑤ $(-x - 2y)(-x + 2y)$。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 1.C

2. 计算：
(1) $(2a - 3b)(2a + 3b)$；
(2) $(-\frac{1}{2}x + y)(-\frac{1}{2}x - y)$；
(3) $(-2a - 1)(-1 + 2a)$。

答案： 2.解：
(1)原式=$(2a)^{2}-(3b)^{2}=4a^{2}-9b^{2}$
(2)原式=$(-\frac{1}{2}x)^{2}-y^{2}=\frac{1}{4}x^{2}-y^{2}$
(3)原式=$(-1)^{2}-(2a)^{2}=1-4a^{2}$.