《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

11. 已知 $x + y = 6$，$xy = 8$，求 $x^{2}+y^{2}+\frac{3}{2}xy - 2x - 2y$ 的值.

答案： 11.解：原式$=x^2+y^2+2xy-\frac{1}{2}xy-2x-2y=(x+y)^2-\frac{1}{2}xy-2(x+y)=6^2-\frac{1}{2}×8-2×6=20.$

12. 已知三角形的三边长分别为 $a$，$b$，$c$，且满足 $a^{2}-4b = 7$，$b^{2}-4c=-6$，$c^{2}-6a=-18$，则此三角形的形状是(A)

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.无法确定

答案： 12.A

13. 已知 $m^{2}+2n^{2}+2mn - 6n + 9 = 0$，求 $mn$ 的值.

答案： 13.解：
∵$m^2+2n^2+2mn-6n+9=0，$
∴$m^2+2mn+n^2+n^2-6n+9=0，$即$(m+n)^2+(n-3)^2=0. $
∵$(m+n)^2≥0，$$(n-3)^2≥0，$
∴$\begin{cases}m+n=0,\\n-3=0,\end{cases} $解得$\begin{cases}m=-3,\\n=3,\end{cases} $
∴mn=-9.

14. 数学文化 法国数学家热尔曼（S.Germain，1776-1831）曾提出一个重要结论：对于任意大于1的正整数 $n$，那么 $n^{4}+4$ 一定是合数.你能证明这个结论吗？

答案： 14.解：$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2n+2)(n^2+2-2n).$
∵$n^2+2+2n=(n+1)^2+1＞1,n^2+2-2n=(n-1)^2+1＞1，$
∴$n^4+4$是合数.

15. 已知 $a$，$b$，$c$ 为非零实数，且 $6(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a + b + 2c)^{2}$，求 $\frac{a + b + c}{a - b + c}$ 的值.

答案： 15.解：
∵$6(a^2+b^2+c^2)=(a+b+2c)^2，$
∴$6a^2+6b^2+6c^2=a^2+b^2+4c^2+2ab+4ac+4bc，$
∴$5a^2+5b^2+2c^2-2ab-4bc-4ac=0，$即$(a^2-2ab+b^2)+(4a^2-4ac+c^2)+(4b^2-4bc+c^2)=0，$
∴$(a-b)^2+(2a-c)^2+(2b-c)^2=0.$
∵$(a-b)^2≥0，$$(2a-c)^2≥0，$$(2b-c)^2≥0，$
∴a=b，c=2a，c=2b，
∴$\frac{a+b+c}{a-b+c}=\frac{a+a+2a}{a-a+2a}=\frac{4a}{2a}=2.$

16. 已知 $a = 2025x + 2020$，$b = 2025x + 2021$，$c = 2025x + 2022$，求多项式 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac$ 的值.

答案： 16.解：设$S=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac，$则$2S=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac，$
∴$2S=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2，$即$2S=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2.$由题意，得a-b=-1,b-c=-1,a-c=-2，
∴$2S=(-1)^2+(-1)^2+(-2)^2=6，$
∴$S=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=3.$