《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

9. 如图，$ AB = AC $，$ AD = AE $，$ BD = CE $，且 $ B $，$ D $，$ E $ 三点在同一条直线上.求证：$ \angle 3 = \angle 1 + \angle 2 $.

答案： 9.证明:在△ABD和△ACE中，$\begin{cases}AB = AC,\\AD = AE,\\BD = CE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE (SSS)，
∴∠BAD = ∠1，∠ABD = ∠2.
∵∠3 = ∠BAD +∠ABD，
∴∠3 = ∠1 + ∠2.

10. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，$ \angle A = 55^{\circ} $，$ D $，$ E $ 分别是边 $ AC $，$ BC $ 上一点，连接 $ DE $.若 $ AB = EB $，$ AD = ED $，求 $ \angle CDE $ 的度数.

答案：
10.解:如图，连接BD.
∵∠ABC = 90°，∠A = 55°，
∴∠C = 35°. 在△ABD和△EBD中，$\begin{cases}AB = EB,\\AD = ED,\\BD = BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△EBD(SSS)，
∴∠BED=∠A=55°，
∴∠CDE=∠BED−∠C=20°.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

11. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $ 是边 $ BC $ 上的点，$ AD = CD $，$ F $ 是 $ AC $ 的中点，$ DE $ 平分 $ \angle ADB $ 交 $ AB $ 于点 $ E $.判定 $ \triangle EDF $ 的形状，并说明理由.

答案： 11.解:△EDF是直角三角形.理由如下:
∵F是AC的中点，
∴AF=CF.在△ADF和△CDF中，$\begin{cases}AD = CD,\\DF = DF,\\AF = CF,\end{cases}$
∴△ADF≌△CDF(SSS)，
∴∠ADF = ∠CDF.又DE平分∠ADB，
∴∠ADE = ∠BDE.
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴2∠ADE+2∠ADF=180°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△EDF是直角三角形.

12. [2024·淄博]如图，已知 $ AB = CD $，点 $ E $，$ F $ 在线段 $ BD $ 上，且 $ AF = CE $.
请从 ① $ BF = DE $；② $ \angle BAF = \angle DCE $；③ $ AF = CF $ 中.选择一个合适的选项作为已知条件，使得 $ \triangle ABF \cong \triangle CDE $.
你添加的条件是：①或②(只填一个序号).添加条件后，请证明 $ AE // CF $.

答案： 12.解:可选择①或②.当选择①时,证明如下:在△ABF和△CDE中，$\begin{cases}AB = CD,\\AF = CE,\\BF = DE,\end{cases}$
∴△ABF≌△CDE(SSS)，
∴∠B = ∠D，BF =DE，
∴BF + EF = DE + EF，即BE = DF.在△ABE和△CDF中，$\begin{cases}AB = CD,\\∠B = ∠D,\\BE = DF,\end{cases}$
∴△ABE ≌ △CDF (SAS)，
∴∠AEB =∠CFD，
∴AE//CF.

13. 如图，在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle BDE $ 中，点 $ C $ 在边 $ BD $ 上，$ AC $ 交 $ BE $ 于点 $ F $.若 $ AC = BD $，$ AB = ED $，$ BC = BE $，请探究 $ \angle ACB $ 与 $ \angle AFB $ 的数量关系.

答案： 13.解:在△ABC和△DEB中，$\begin{cases}AC = DB,\\AB = DE,\\BC = EB,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEB(SSS)，
∴∠ACB = ∠DBE.
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠AFB = ∠ACB + ∠DBE = 2∠ACB，
∴∠ACB =$\frac{1}{2}$∠AFB.