《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

5. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，点 $E$ 在 $AB$ 上，$EF// AC$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$.求证：$AC = BE + EF$.

答案： 5.证明:
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵EF//AC,
∴∠F=∠CAD=∠EAD,
∴EA=EF,
∴AC=AB=BE+EA=BE+EF.

1. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\angle C = 65^{\circ}$，$\angle B = 50^{\circ}$，则下列结论正确的是(C)

A.$AB = AC$
B.$AC = BC$
C.$AB = BC$
D.$AB = AC = BC$

答案： 1.C

2. [教材习题变式]如图，一艘船位于灯塔 $P$ 的南偏东 $70^{\circ}$ 方向上的海岛 $M$ 处，它以 $40$ n mile/h 的速度向正北方向航行，$2$ h 后到达位于灯塔 $P$ 的北偏东 $40^{\circ}$ 方向上的海岛 $N$ 处，则海岛 $N$ 与灯塔 $P$ 的距离为(D)

A.$40$ n mile
B.$60$ n mile
C.$70$ n mile
D.$80$ n mile

答案： 2.D

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，通过尺规作图得到射线 $BD$ 交边 $AC$ 于点 $D$，则下列结论错误的是(D)

A.$BD = BC$
B.$AD = BD$
C.$\angle ADB = 108^{\circ}$
D.$AD = 2CD$

答案： 3.D

4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 25^{\circ}$，点 $D$ 在 $BC$ 上，$\angle BAD = 80^{\circ}$，$CD = 2$，则 $AD$ 的长为2.

答案： 4.2

5. 如图，$\triangle ABC$ 的角平分线 $CD$ 交 $AB$ 于点 $D$，$DE// BC$，交 $AC$ 于点 $E$.若 $DE = 3$，$AE = 4$，则 $AC$ 的长为7.

答案： 5.7

6. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$BC = 5$，$BP$，$CP$ 分别是 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线，且 $PD// AB$，$PE// AC$，则 $\triangle PDE$ 的周长为5.

答案： 6.5

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 2\angle C$，$E$ 为边 $AC$ 的中点，$DE\perp AC$，交 $BC$ 于点 $D$.若 $AB = 5$，$BC = 13$，则 $BD$ 的长为8.

答案： 7.8

8. 如图，$AB = AC$，$DF\perp BC$ 于点 $D$，交 $AB$ 于点 $E$，交 $CA$ 的延长线于点 $F$.求证：$\triangle AEF$ 是等腰三角形.

答案： 8.证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DF⊥BC,
∴∠B+∠BED=90°,
∴∠B+∠AEF=90°.又∠C+∠F=90°,
∴∠AEF=∠F,
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形