《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

11. 如图, 两个正方形的边长分别为 $a$, $b$. 若 $a + b = ab = 7$, 则阴影部分的面积是 14.


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答案： 11.14

12. 如图, 长方形 $ABCD$ 的周长为 20, 以 $AB$, $AD$ 为边向外作正方形 $ABEF$ 和正方形 $ADGH$. 若正方形 $ABEF$ 和正方形 $ADGH$ 的面积之和为 68, 则长方形 $ABCD$ 的面积是 16.
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答案： 12.16

13. 如图①, 小长方形的长为 $a$, 宽为 $b$, 将 7 个这样的小长方形拼放在长方形 $ABCD$ 内, 如图②所示, 其中有两个部分(阴影部分)未被覆盖, 设右上角阴影部分的面积为 $S_{1}$, 左下角阴影部分的面积为 $S_{2}$. 当 $AB$ 的长度变化时, $S_{1} - S_{2}$ 的值始终保持不变, 求 $a$ 与 $b$ 之间的数量关系.
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答案： 13.解:设AB=x,则S₁=a(x−3b),S₂=2b(x−2a),
∴S₁−S₂=a(x−3b)−2b(x−2a)=(a−2b)x+ab.
∵AB的长度变化时,S₁−S₂的值始终保持不变,
∴a−2b=0,
∴a=2b.

14. 若 $|x - y + 1|$ 与 $(x + 2y + 4)^{2}$ 互为相反数, 求 $[(2x + 2y)^{2} - (3x + y)(3x - y) - 5y^{2}] ÷ (2x)$ 的值.

答案： 14.解:
∵|x−y+1|与(x+2y+4)²互为相反数,
∴|x−y+1|+(x+2y+4)²=0,
∴$\begin{cases}x - y = -1\\x + 2y = -4\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = -2\\y = -1\end{cases}$.原式=(4x²+4y²+8xy−9x²+y²−5y²)÷(2x)=(−5x²+8xy)÷(2x)=−$\frac{5}{2}$x+4y.当x=−2,y=−1时,原式=5−4=1.

15. 阅读理解 先阅读下面的解题过程, 再解答问题.
例: 若 $x = 6789 × 6786$, $y = 6788 × 6787$, 试比较 $x, y$ 的大小.
解: 设 $6788 = a$,
则 $x = (a + 1)(a - 2) = a^{2} - a - 2$,
$y = a(a - 1) = a^{2} - a$,
$\therefore x - y = a^{2} - a - 2 - (a^{2} - a) = -2$.
$\because x - y = -2 ＜ 0$, $\therefore x ＜ y$.
问题: 若 $x = 2020 × 2024 - 2021 × 2023$, $y = 2021 × 2025 - 2022 × 2024$, 试比较 $x, y$ 的大小.

答案： 15.解:设2020=a,则x=a(a+4)−(a+1)(a+3)=a²+4a−(a²+3a+a+3)=−3,y=(a+1)(a+5)−(a+2)(a+4)=a²+5a+a+5−(a²+4a+2a+8)=−3,
∴x=y.

16. (1)如图①, 在第一象限内, 已知 $A(a, b)$, $B(m, n)$, 求证: $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}(bm - an)$.
(2)如图②, 已知 $A(-3, 5)$, $B(-5, 3)$, $C(-2, 1)$, 求 $\triangle ABC$ 的面积.
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答案：
16.
(1)证明:如图①,过点B作DC⊥x轴,垂足为C,过点A作DE⊥y轴，垂足为E,则点D的坐标为(m,b).
∵S△AOB=S长方形EOCD−S△AOE−S△BOC−S△ADB,
∴S△AOB=mb−$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$mn−$\frac{1}{2}$(m−a)(b−n)=mb−$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$mn−$\frac{1}{2}$(mb−mn−ab+an)=mb−$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$mn−$\frac{1}{2}$mb+$\frac{1}{2}$mn+$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$an=$\frac{1}{2}$(mb−an)=$\frac{1}{2}$(bm−an).
(2)解:如图②,作△ABC关于y轴对称的三角形,再将其平移至原点,则A₂(1,4),B₂(3,2).由
(1)可得△A₂OB₂的面积为$\frac{1}{2}$×(3×4−1×2)=5,即△ABC的面积为5.