《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

6. 如图，BF⊥AC 于点 F，CE⊥AB 于点 E，BF 与 CE 相交于点 D，BD=CD.求证：点 D 在∠BAC 的平分线上.

答案： 6.证明:
∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED = ∠CFD = 90°.在△BDE和△CDF中，$\begin{cases} ∠BDE = ∠CDF, \\ ∠BED = ∠CFD, \\ BD = CD, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF (AAS),
∴DE = DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.

7. [教材习题变式]如图，BD 是∠ABC 的平分线，点 P 在 BD 上，PM⊥AD 于点 M，PN⊥CD 于点 N，且 PM=PN.求证：BA=BC.

答案： 7.证明:
∵PM⊥AD,PN⊥CD,PM = PN,
∴DP平分∠ADC,
∴∠ADB = ∠CDB.又BD平分∠ABC,
∴∠ABD = ∠CBD.在△ABD和△CBD中，$\begin{cases} ∠ADB = ∠CDB, \\ BD = BD, \\ ∠ABD = ∠CBD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBD (ASA),
∴BA = BC.

8. 如图，A，C，B 三点共线，△ACD 和△BCE 都是等边三角形，AE 与 BD 相交于点 F，连接 CF.求证：
（1）AE=DB；
（2）FC 平分∠AFB.

答案：
8.证明:
(1)
∵△ACD和△BCE都是等边三角形,且A,C,B三点共线,
∴∠ACE = ∠DCB = 120°.在△ACE和△DCB中，$\begin{cases} AC = DC, \\ ∠ACE = ∠DCB, \\ CE = CB, \end{cases}$
∴△ACE≌△DCB (SAS),
∴AE = DB.
(2)如图,过点C作CM⊥AE于点M,CN⊥DB于点N.由
(1),得△ACE≌△DCB,
∴S△ACE = S△DCB,
∴$\frac{1}{2}$AE·CM = $\frac{1}{2}$DB·CN.
∵AE = DB,
∴CM = CN,
∴FC平分∠AFB.

9. 如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CF 与内角∠ABC 的平分线 BF 相交于点 F.若∠BFC=35°，则∠CAF 的度数是55°.

答案： 9.55°

10. 如图，点 B，C 分别在∠EAD 的两边上，连接 BC，F 为 BC 右侧一点，连接 AF.已知 FC=FB，∠ABF+∠ACF=180°.有下列结论：①F 为∠EAD 的平分线上一点；②AF=BC；③点 F 到直线 AE，AD 的距离不一定相等.其中正确的结论有①(填序号).

答案： 10.①

11. 如图，在四边形 ABCD 中，CA 平分∠BCD，∠BAC=∠D=90°.若 BC=7，CD=5，求点 B 到 AD 的距离.

答案：
11.解:如图，过点A作AM⊥BC于点M,过点B作BN⊥AD,交DA的延长线于点N.
∵∠D = 90°,
∴AD⊥CD.又CA平分∠BCD,
∴AD = AM.在Rt△ACD和Rt△ACM中，$\begin{cases} AD = AM, \\ AC = AC, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△ACM(HL),
∴CM = CD = 5,BM = BC - CM = 7 - 5 = 2.
∵∠BAN + ∠CAD = 90°,∠BAM + ∠CAM = 90°,且Rt△ACD≌Rt△ACM,
∴∠CAD = ∠CAM,
∴∠BAN = ∠BAM,
∴AB是∠BAM的平分线.又BN⊥AN,BM⊥AM,
∴BN = BM = 2,即点B到AD的距离为2.