《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 计算下列多项式的积，把你发现的规律用文字语言表述出来.
(1) $(a + 1)^2 = (a + 1)(a + 1) =$$a^{2}+2a + 1$；
(2) $(a + 3)^2 = (a + 3)(a + 3) =$$a^{2}+6a + 9$；
(3) $(a + b)^2 =$$a^{2}+2ab + b^{2}$；
(4) $(a - 1)^2 = (a - 1)(a - 1) =$$a^{2}-2a + 1$；
(5) $(a - 3)^2 = (a - 3)(a - 3) =$$a^{2}-6a + 9$；
(6) $(a - b)^2 =$$a^{2}-2ab + b^{2}$.
规律：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍.

答案： 1.
(1)$a^{2}+2a + 1$
(2)$a^{2}+6a + 9$
(3)$a^{2}+2ab + b^{2}$
(4)$a^{2}-2a + 1$
(5)$a^{2}-6a + 9$
(6)$a^{2}-2ab + b^{2}$ 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍

2. 完全平方公式的几种常见变形：
(1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$；
(2) $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$；
(3) $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$；
(4) $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$.

答案： 以上变形均正确

3. 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
$(a + b + c)(a - b - c) = [a + ($$b + c$$)][a - ($$b + c$$)]$

答案： 3.$b + c$ $b + c$

例 1 计算：
(1) $(4a + b)^2$； (2) $(-x + 3y)^2$；
(3) $(-2x - 3y)^2 - (4y - 3x)(4y + 3x)$；
(4) $(x + 2y + 3)(x - 2y - 3)$.

答案： 例1 解：
(1)原式$=(4a)^{2}+2\cdot(4a)\cdot b + b^{2}=16a^{2}+8ab + b^{2}$.
(2)原式$=(3y - x)^{2}=(3y)^{2}-2\cdot(3y)\cdot x + x^{2}=9y^{2}-6xy + x^{2}$.
(3)原式$=(2x + 3y)^{2}-(4y - 3x)(4y + 3x)=$
$(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot(3y)+(3y)^{2}-[(4y)^{2}-(3x)^{2}]=4x^{2}+12xy + 9y^{2}-16y^{2}+9x^{2}=13x^{2}+12xy - 7y^{2}$.
(4)原式$=[x+(2y + 3)][x-(2y + 3)]=x^{2}-(2y + 3)^{2}=x^{2}-4y^{2}-12y - 9$.

例 2 已知 $x + y = 3$，$xy = -7$，求下列代数式的值：(1) $x^2 + xy + y^2$；(2) $(x - y)^2$.

答案： 例2 解：$\because x + y = 3$，$\therefore(x + y)^{2}=3^{2}=9$，即$x^{2}+2xy + y^{2}=9$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=9 - 2xy=9 - 2×(-7)=23$.
(1)$x^{2}+xy + y^{2}=23+(-7)=16$.
(2)$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}=23 - 2×(-7)=37$.

1. 计算 $(x + 2y)^2$ 的结果是 (A)

A.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B.$x^2 + 2xy + 4y^2$
C.$x^2 + 4xy + 2y^2$
D.$x^2 + 4y^2$

答案： 1.A

2. 填空：
(1) $(\frac{1}{2}x + 2)^2 =$$\frac{1}{4}x^{2}+2x + 4$；
(2) $(-a + 2b)^2 =$$a^{2}-4ab + 4b^{2}$；
(3) $(-3m - 2n)^2 =$$9m^{2}+12mn + 4n^{2}$；
(4) $(2m + n + 1)(2m - n - 1) =$$4m^{2}-n^{2}-2n - 1$.

答案： 2.
(1)$\frac{1}{4}x^{2}+2x + 4$
(2)$a^{2}-4ab + 4b^{2}$
(3)$9m^{2}+12mn + 4n^{2}$
(4)$4m^{2}-n^{2}-2n - 1$