《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

8. 如图，小岛C在小岛A的北偏东50°方向，小岛B在小岛A的北偏东80°方向，小岛C在小岛B的北偏东30°方向，求从小岛C观测A，B两岛的视角∠ACB的度数.

答案： 8.解：由题意，得∠DAC = 50°，∠DAB = 80°，∠EBC = 30°，
∴∠CAB = ∠DAB - ∠DAC = 30°。
∵AD//BE，
∴∠ABE = 180° - ∠DAB = 100°，
∴∠ABC = ∠ABE + ∠CBE = 130°，
∴∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠CAB = 20°，即从小岛C观测A，B两岛的视角∠ACB的度数是20°。

9. 如图，在△ABC中，BE，CF是高，且BE与CF相交于点H，∠CBE与∠BCF的平分线相交于点O.
（1）求证：∠ABE=∠ACF；
（2）若∠ACB=54°，∠ABC=66°，求∠BOC的度数.

答案： 9.
(1)证明：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠A + ∠ABE = 90°，∠A + ∠ACF = 90°，
∴∠ABE = ∠ACF。
(2)解：在△EBC中，
∠CBE = 90° - ∠ACB = 36°。在△FBC中，∠BCF = 90° - ∠ABC = 24°。
∵BO，CO分别平分∠CBE，∠BCF，
∴$∠OBC + ∠OCB = \frac{1}{2}(∠CBE + ∠BCF) = \frac{1}{2}×(36° + 24°) = 30°，$
∴∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 150°。

10. [分类讨论]在△ABC中，∠A=50°，BD，CE是高，直线BD，CE相交于点H，则∠BHC的度数是130°或50°.

答案： 10.130°或50°

11. 如图，在△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC交BC于点E.
（1）若∠B=39°，∠C=69°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B=β，∠C=α（α＞β），求证：∠EAD=$\frac{1}{2}$(α−β).

答案： 11.
(1)解：
∵∠B = 39°，∠C = 69°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 72°。
∵AE平分∠BAC，
∴$∠EAC = \frac{1}{2}∠BAC = 36°。$
∵AD⊥BC，
∴∠ADC = 90°，∠DAC = 90° - ∠C = 21°，
∴∠EAD = ∠EAC - ∠DAC = 15°。
(2)证明：
∵∠B = β，∠C = α，
∴∠BAC = 180° - α - β。
∵AE平分∠BAC，
∴$∠EAC = \frac{1}{2}∠BAC。$
∵AD⊥BC，∠C = α，
∴∠DAC = 90° - α，
∴$∠EAD = ∠EAC - ∠DAC = \frac{1}{2}(180° - α - β) - (90° - α) = \frac{1}{2}(α - β)。$

12. 如图，BE与CD相交于点A，EF平分∠DEB，CF平分∠BCD，探究∠F与∠B，∠D之间的数量关系.

答案： 12.解：
∵∠D + ∠DEF = ∠F + ∠DCF，∠B + ∠BCF = ∠F + ∠BEF，
∴∠B + ∠D + ∠DEF + ∠BCF = 2∠F + ∠DCF + ∠BEF。
∵EF平分∠DEB，CF平分∠BCD，
∴∠DEF = ∠BEF，∠BCF = ∠DCF，
∴∠B + ∠D = 2∠F。