《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 如图①，在等边三角形ABC中，AD是高，∠BDE = ∠CDF = 60°。
(1)∠BAD的度数为30°。
(2)图中与BD相等的线段有BE,DE,AE,AF,FC,DF,DC。
(3)BD与AB的数量关系是BD=$\frac{1}{2}$AB。
(4)如图②，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，则BC与AB的数量关系是BC=$\frac{1}{2}$AB。

答案： 1.
(1)30°　
(2)BE,DE,AE,AF,FC,DF,DC　
(3)BD=$\frac{1}{2}$AB
(4)BC=$\frac{1}{2}$AB

例1 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，EF为AC的垂直平分线，EF交BC于点F，交AC于点E。求证：BF = 2CF。

答案：
例1　　证明:如图，连接AF.
∵AB=AC，∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠C=30°,
∴∠BAF=∠BAC−∠CAF=90°.又∠B=30°,
∴AF=$\frac{1}{2}$BF,
∴BF=2AF=2CF.

例2 如图，等边三角形ABC的边长为2，P是AB上任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F，过点F作FQ⊥AB于点Q，设BP = x。
(1)用含x的代数式表示AQ。
(2)当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？

答案： 例2　解:
(1)
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA=2.
∵PE⊥BC，∠B=60°,
∴∠BPE=30°,
∴BE=$\frac{1}{2}x$，
∴CE=2-$\frac{1}{2}x$.
∵EF⊥AC，∠C=60°,
∴∠FEC=30°,
∴FC=$\frac{1}{2}$CE=1-$\frac{1}{4}x$，
∴AF=1+$\frac{1}{4}x$.
∵FQ⊥AB，∠A=60°,
∴∠AFQ=30°，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}x$.
(2)当点P与点Q重合时，AQ+BP=AB=2,
∴$x$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}x$=2，解得$x$=$\frac{4}{3}$，即BP的长为$\frac{4}{3}$时，点P与点Q重合.