《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

8. 如图，在四边形 ABCD 中，CB = CD，AC 平分∠BAD，CF⊥AD 于点 F.
（1）判断∠ABC 与∠ADC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）若 CF = 6，AB = 3，$S_{△ACD} = 18，$求 DF 的长.

答案：
8.解：
(1)∠ABC+∠ADC=180°.理由如下：如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.
∵AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE=CF.在Rt△BCE和Rt△DCF中，
$\begin{cases} CB = CD, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，
∴∠EBC=∠D，
∴∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠EBC=180°.
(2)
∵$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot CF=\frac{1}{2}× AD× 6 = 18$，
∴AD=6.在Rt△ACE和Rt△ACF中，
$\begin{cases} AC = AC, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴AE=AF.由
(1)，得Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+BE=AD - DF，即3+DF=6 - DF，解得DF=1.5，即DF的长为1.5.

9. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠B + ∠D = 180°，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD.试探究线段 BE，EF，DF 之间的数量关系.

答案：
9.解：如图，延长CD至点G，使得DG=BE，连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG.在△ABE和△ADG中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ \angle B = \angle ADG, \\ BE = DG, \end{cases}$
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，即∠GAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF.在△AEF和△AGF中，
$\begin{cases} AE = AG, \\ \angle EAF = \angle GAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF.

10. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 BC = 4.4，DE = 1.6，则 BD 的长为2.8.

答案： 10.2.8

11. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB = 4，AC = 2，且△ABD 的面积为 2，则△ABC 的面积为3.

答案： 11.3

12. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 4，AC = 3，AO，BO 分别平分∠CAB，∠CBA，则△AOB 的面积为2.5.

答案： 12.2.5

13. 如图，P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补.若∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA，OB 相交于 M，N 两点，则给出以下结论：①PM = PN 恒成立；②OM + ON 的值不变；③四边形 PMON 的面积不变；④MN 的长度不变.其中正确的有①②③(填序号).

答案： 13.①②③