《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

9. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 100^{\circ}$，$BD$ 平分 $\angle ABC$，$E$ 是 $BC$ 上一点，且 $BD = BE$.求证：$DE = CE$.

答案： 9.证明:
∵AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠C=40°.又BD平分∠ABC,
∴∠DBE=20°.
∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=$\frac{1}{2}$(180°−∠DBE)=80°.
∵∠BED=∠EDC+∠C,
∴∠EDC=40°,
∴∠EDC=∠C,
∴DE=CE.

10. 如图，已知线段 $a$ 和线段 $h$，按要求用直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)，并解答问题.
(1)作一个底边 $AB = a$，底边 $AB$ 上的高为 $h$ 的等腰三角形 $ABC$；
(2)作外角 $\angle BCG$ 的平分线 $CD$，截取 $CE = AC$，连接 $AE$；
(3)说明 $CE// AB$，$AE$ 平分 $\angle CAB$.

答案：
10.解:
(1)
(2)如图所示.
(3)由作图，得MN为AB的垂直平分线,
∴CA=CB,∠CAB=∠CBA,
∴∠GCB=∠CAB+∠CBA=2∠CBA.由作图,得∠GCB=2∠ECB,
∴∠CBA=∠ECB,
∴CE//AB,
∴∠CEA=∠BAE.由作图,得CE=CA,
∴∠CEA=∠CAE,
∴∠CAE=∠BAE,
∴AE平分∠CAB.

11. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC$ 与 $\angle ACB$ 的平分线交于点 $F$，过点 $F$ 作 $DE// BC$ 交 $AB$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$. 有下列结论：
①$\triangle BDF$ 和 $\triangle CEF$ 都是等腰三角形；
②$DE = BD + CE$；
③$\triangle ADE$ 的周长等于 $AB$ 与 $AC$ 的长度和；
④$BF = CF$.
其中正确的是(A)

A.①②③
B.②③④
C.①②
D.①

答案： 11.A

12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$EP\perp PF$ 且 $\angle EPF$ 的顶点 $P$ 是 $BC$ 的中点，两边 $PE$，$PF$ 分别交 $AB$，$AC$ 于点 $E$，$F$.有以下结论：
①$AE = CF$；
②$\angle APE=\angle CPF$；
③$\triangle EPF$ 是等腰直角三角形；
④$EF = AP$；
⑤$S_{四边形AEPF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$.
当 $\angle EPF$ 在 $\triangle ABC$ 内绕顶点 $P$ 旋转时(点 $E$ 不与点 $A$，$B$ 重合)，上述结论始终正确的是①②③⑤(填序号).

答案： 12.①②③⑤

13. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 2\angle C$，点 $D$ 在 $BC$ 上，连接 $AD$.
(1)如图①，若 $AD\perp BC$，求证：$CD = AB + BD$；
(2)如图②，若 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$AB = 4$，$BD = 3$，求 $AC$ 的长.

答案：
13.
(1)证明:如图①,在DC上截取ED=BD,连接AE.
∵∠ADB=∠ADE=90°,AD=AD,
∴△ABD≌△AED (SAS),
∴AE=AB,∠AED=∠B.
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=∠C+∠EAC=2∠C,
∴∠EAC=∠C,
∴CE=AE=AB,
∴CD=CE+ED=AB+BD.
(2)解:如图②,在AC 上截取AF=AB,连接DF.易证△ABD≌△AFD(SAS).同
(1)中的方法,得CF=DF=BD,
∴AC=AF+CF=AB+BD=4+3=7.