《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

11. 先化简，再求值：$(3a + 1)(3a - 1) - (2a - 3)(3a + 2)$，其中 $a = -\frac{1}{3}$。

答案： 11.解：原式=$9a^{2}-1-(6a^{2}-5a-6)=3a^{2}+5a+5$.当$a=-\frac{1}{3}$时，原式=$\frac{11}{3}$.

12. 如图，大正方形 $ABCM$ 的边长为 $a$，小正方形 $EBDN$ 的边长为 $b$，$B$，$C$，$D$ 三点在同一条直线上，点 $E$ 在边 $AB$ 上。若大正方形与小正方形的面积差为 60，求阴影部分的面积。

答案： 12.解：由题意，得$S_{阴影}=S_{\triangle ACE}+S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AE\cdot BC+\frac{1}{2}AE\cdot BD$，即$S_{阴影}=\frac{1}{2}AE\cdot(BC+BD)$，$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}(a-b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2})$.又$a^{2}-b^{2}=60$，$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}×60=30$.

13. 计算：$\frac{2025^3}{2026×2024 + 1} =$2025。

答案： 13.2025

14. 已知 $(2m + 2n + 1)(2m + 2n - 1) = 35$，则 $m + n$ 的值为$\pm3$。

答案： 14.$\pm3$

15. 如图，一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、图②两种方式摆放，则图②中的大正方形中未被小正方形覆盖的部分的面积是$ab$(用含 $a$，$b$ 的代数式表示)。

答案： 15.$ab$

16. 逻辑推理观察下列各式：
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$；
$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$；
$(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1$；
……
根据前面各式的规律可以得到：
$(x - 1)(x^n + x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1) =$$x^{n+1}-1$。

答案： 16.$x^{n+1}-1$

17. 计算：$(3 + 1)×(3^2 + 1)×(3^4 + 1)×(3^8 + 1)×(3^{16} + 1)$。

答案： 17.解：原式=$\frac{1}{2}×(3-1)×(3+1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{2}-1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{4}-1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{8}-1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{16}-1)×(3^{16}+1)=\frac{3^{32}-1}{2}$.