《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

16. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E 在 BC 的延长线上，连接 AE，且∠EAD = ∠EDA.
(1)求证：∠EAC = ∠B；
(2)若∠B = 50°，∠CAD : ∠E = 1 : 3，求∠E 的度数.

答案： 16.
(1)证明:
∵∠EAD=∠EDA,
∴∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠EAC=∠B.
(2)解:设∠CAD=x,则∠E=3∠CAD=3x.由
(1),得∠EAC=∠B=50°,
∴∠EAD=∠EDA=50°+x.
∵∠EAD+∠EDA+∠E=180°,
∴2(50°+x)+3x=180°,解得x=16°,
∴∠E=3x=48°.

17. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，BD 与 CE 相交于点 F，FH⊥BC，垂足为 H.
(1)若∠ABC = 40°，∠ACB = 60°，则∠1 - ∠2 的度数是40°；
(2)若∠A = 60°，求∠1 - ∠2 的度数；
(3)若∠A = α，求∠1 - ∠2 的度数(用含 α 的代数式表示).

答案： 17.解:
(1)40°.
(2)
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠ABD=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠2+∠BCE=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=60°.
∵FH⊥BC,
∴∠BCE=90°−∠1,
∴∠2+90°−∠1=60°,
∴∠1−∠2=30°.
(3)由
(2),得∠2+∠BCE=$\frac{1}{2}$(180°−α),
∴∠2+90°−∠1=$\frac{1}{2}$(180°−α),整理,得∠1−∠2=$\frac{1}{2}$α.

18. 如图，P 为第四象限一动点，Q 为 x 轴负半轴上一动点，R 为 y 轴负半轴上一动点，且在 PQ 下方.
(1)如图①，已知 P(2， - 1)，Q( - 3，0)，R(0， - 5)，求△PQR 的面积.
(2)如图②，RM，QM 分别平分∠PRO，∠PQO，则在点 P，Q，R 的运动过程中，∠P，∠M 是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.

答案：
18.解:
(1)如图①,过点P作PH⊥x轴,垂足为H.
∵P(2,−1),Q(−3,0),R(0,−5),
∴PH=1,OH=2,OQ=3,QH=5,OR=5,
∴S△PQR=S梯形PHOR+S△ROQ−S△PQH=$\frac{(1+5)×2}{2}$+$\frac{3×5}{2}$−$\frac{1×5}{2}$=11.
(2)存在,∠P=2∠M−90°.证明如下:如图②,设PQ交y轴于点A,RM交PQ于点B.
∵RM,QM分别平分∠PRO,∠PQO,
∴可设∠OQM=∠PQM=α,∠ORM=∠PRM=β.
∵∠M+∠PQM=∠P+∠PRM,即∠M+α=∠P+β.①又∠AOQ+∠AQO=∠P+∠PRA,即90°+2α=∠P+2β.②　　由①×2−②,得2∠M−90°=∠P,即∠P=2∠M−90°.